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3 Filtrations et martingales
Ces limites ont aussi lieu dans L 1 . En effet, toujours d’apr` es le th´ eor` eme d’arrˆ et
pour les martingales discr` etes ferm´ ees, on a X S n = E[X ∞ | F S n ] pour tout n, et donc
la suite (X S n ) est uniform´ ement int´ egrable (et de mˆ eme pour la suite (X T n )).
La convergence L 1 montre que X S et X T sont dans L 1 , et permet aussi de passer `
a
la limite dans l’´ egalit´ e E[1 A X S n ] = E[1 A X T n ] pour obtenir
E[1 A X S ] = E[1 A X T ].
Comme ceci est vrai pour tout A ∈ F S , et comme la variable X S est F S -mesurable
(d’apr` es les remarques pr´ ec´ edant le th´ eor` eme), on conclut que
X S = E[X T | F S ]
ce qui ach` eve la preuve.
Nous donnons maintenant deux corollaires du Th´ eor` eme 3.6.
Corollaire 3.1. Soit (X t ) t≥0 une martingale `
a trajectoires continues `
a droite et
soient S ≤ T deux temps d’arrˆ et born´ es. Alors X S et X T sont dans L 1 et
X S = E[X T | F S ] .
D´ emonstration. Soit a ≥ 0 tel que T ≤ a. On applique le th´ eor` eme pr´ ec´ edent `
a
(X t∧a ) t≥0 qui est bien sˆ ur ferm´ ee par X a .
Le second corollaire montre qu’une martingale (resp. une martingale uniform´ ement int´ egrable) arrˆ et´ ee `
a un temps d’arrˆ et reste une martingale (resp. une martingale uniform´ ement int´ egrable). Ce r´ esultat jouera un rˆ ole particuli` erement important
dans les chapitres qui suivent.
Corollaire 3.2. Soit (X t ) t≥0 une martingale `
a trajectoires continues `
a droite, et soit
T un temps d’arrˆ et.
(i) Le processus (X t∧T ) t≥0 est encore une martingale.
(ii) Supposons de plus la martingale (X t ) t≥0 uniform´ ement int´ egrable. Alors le
processus (X t∧T ) t≥0 est aussi une martingale uniform´ ement int´ egrable, et on a pour
tout t ≥ 0,
X t∧T = E[X T | F t ].
(3.4)
D´ emonstration. On commence par montrer (ii). Rappelons que X T ∈ L 1 d’apr` es le
Th´ eor` eme 3.6. Il suffit donc d’´ etablir (3.4). D’apr` es le Th´ eor` eme 3.6, on a aussi
X t∧T = E[X T | F t∧T ].
Puisque X T 1 {T <∞} est F T -mesurable, on sait que X T 1 {T ≤t} est F t -mesurable
(d’apr` es la propri´ et´ e (j) ci-dessus), et aussi F T -mesurable, donc F t∧T -mesurable.
Il en d´ ecoule que
E[X T 1 {T ≤t} | F t∧T ] = X T 1 {T ≤t} = E[X T 1 {T ≤t} | F t ].
Pour compl´ eter la preuve, il reste `
a voir que
3 Filtrations et martingales
Ces limites ont aussi lieu dans L 1 . En effet, toujours d’apr` es le th´ eor` eme d’arrˆ et
pour les martingales discr` etes ferm´ ees, on a X S n = E[X ∞ | F S n ] pour tout n, et donc
la suite (X S n ) est uniform´ ement int´ egrable (et de mˆ eme pour la suite (X T n )).
La convergence L 1 montre que X S et X T sont dans L 1 , et permet aussi de passer `
a
la limite dans l’´ egalit´ e E[1 A X S n ] = E[1 A X T n ] pour obtenir
E[1 A X S ] = E[1 A X T ].
Comme ceci est vrai pour tout A ∈ F S , et comme la variable X S est F S -mesurable
(d’apr` es les remarques pr´ ec´ edant le th´ eor` eme), on conclut que
X S = E[X T | F S ]
ce qui ach` eve la preuve.
Nous donnons maintenant deux corollaires du Th´ eor` eme 3.6.
Corollaire 3.1. Soit (X t ) t≥0 une martingale `
a trajectoires continues `
a droite et
soient S ≤ T deux temps d’arrˆ et born´ es. Alors X S et X T sont dans L 1 et
X S = E[X T | F S ] .
D´ emonstration. Soit a ≥ 0 tel que T ≤ a. On applique le th´ eor` eme pr´ ec´ edent `
a
(X t∧a ) t≥0 qui est bien sˆ ur ferm´ ee par X a .
Le second corollaire montre qu’une martingale (resp. une martingale uniform´ ement int´ egrable) arrˆ et´ ee `
a un temps d’arrˆ et reste une martingale (resp. une martingale uniform´ ement int´ egrable). Ce r´ esultat jouera un rˆ ole particuli` erement important
dans les chapitres qui suivent.
Corollaire 3.2. Soit (X t ) t≥0 une martingale `
a trajectoires continues `
a droite, et soit
T un temps d’arrˆ et.
(i) Le processus (X t∧T ) t≥0 est encore une martingale.
(ii) Supposons de plus la martingale (X t ) t≥0 uniform´ ement int´ egrable. Alors le
processus (X t∧T ) t≥0 est aussi une martingale uniform´ ement int´ egrable, et on a pour
tout t ≥ 0,
X t∧T = E[X T | F t ].
(3.4)
D´ emonstration. On commence par montrer (ii). Rappelons que X T ∈ L 1 d’apr` es le
Th´ eor` eme 3.6. Il suffit donc d’´ etablir (3.4). D’apr` es le Th´ eor` eme 3.6, on a aussi
X t∧T = E[X T | F t∧T ].
Puisque X T 1 {T <∞} est F T -mesurable, on sait que X T 1 {T ≤t} est F t -mesurable
(d’apr` es la propri´ et´ e (j) ci-dessus), et aussi F T -mesurable, donc F t∧T -mesurable.
Il en d´ ecoule que
E[X T 1 {T ≤t} | F t∧T ] = X T 1 {T ≤t} = E[X T 1 {T ≤t} | F t ].
Pour compl´ eter la preuve, il reste `
a voir que