3.4 Th´ eor` emes d’arrˆ et
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X T (ω) = 1 {T (ω)<∞} X T (ω) (ω) + 1 {T (ω)=∞} X ∞ (ω).
Comparer avec le Th´ eor` eme 3.1 o` u la variable X T ´
etait seulement d´ efinie sur
l’ensemble {T < ∞}. Avec cette nouvelle d´ efinition, la variable X T reste F T -
mesurable : utiliser le Th´ eor` eme 3.1 et le fait, facile `
a v´ erifier, que 1 {T =∞} X ∞ est
F T -mesurable.
Th´ eor` eme 3.6 (Th´ eor` eme d’arrˆ et pour les martingales). Soit (X t ) t≥0 une martingale `
a trajectoires continues `
a droite et uniform´ ement int´ egrable. Soient S et T
deux temps d’arrˆ et avec S ≤ T . Alors X S et X T sont dans L 1 et
X S = E[X T | F S ].
En particulier, pour tout temps d’arrˆ et S, on a
X S = E[X ∞ | F S ],
et
E[X S ] = E[X ∞ ] = E[X 0 ].
D´ emonstration. Posons pour tout entier n ≥ 0,
T n =
∞
∑
k=0
k + 1
2 n 1 {k2 −n et de mˆ eme
S n =
∞
∑
k=0
k + 1
2 n 1 {k2 −n La Proposition 3.3 montre que (T n ) et (S n ) sont deux suites de temps d’arrˆ et qui
d´ ecroissent respectivement vers T et vers S. De plus on a S n ≤ T n pour tout n ≥ 0.
Observons maintenant que pour chaque n fix´ e, S n et T n sont des temps d’arrˆ et de
la filtration discr` ete (F k/2 n ) k≥0 . En appliquant le th´ eor` eme d’arrˆ et pour les martingales discr` etes ferm´ ees (voir l’Appendice A2) on a
X S n = E[X T n | F S n ]
(il y a ici une petite subtilit´ e : il faut v´ erifier que la tribu du pass´ e avant S n lorsque S n
est vu comme temps d’arrˆ et de la filtration discr` ete (F k/2 n ) k≥0 co¨ ıncide bien avec
la tribu F S n – cela ne pose cependant aucune difficult´ e).
Soit maintenant A ∈ F S . Puisque F S ⊂ F S n , on a A ∈ F S n et donc
E[1 A X S n ] = E[1 A X T n ].
Par continuit´ e `
a droite des trajectoires on a p.s.
X S = lim
n→∞
X S n , X T = lim
n→∞
X T n .