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3 Filtrations et martingales
D´ emonstration. Soit D un sous-ensemble d´ enombrable dense de R + . D’apr` es la
preuve du Th´ eor` eme 3.3, on a pour tout T ∈ D et a < b,
E[M
X
ab (D ∩ [0, T ])] ≤
1
b − a
E[(X T − a)
− ].
Par convergence monotone, on a pour tous a < b,
E[M
X
ab (D)] ≤
1
b − a
sup
t≥0
E[(X t − a) − ] < ∞,
X ∞ := lim
Dt→∞
X t
(3.3)
existe p.s. dans [−∞, ∞]. Le lemme de Fatou montre alors que
E[|X ∞ |] ≤ lim inf
Dt→∞
E[|X t |] < ∞.
Donc X ∞ ∈ L 1 (en particulier |X ∞ | < ∞ p.s.). La continuit´ e `
a droite des trajectoires
permet de supprimer la restriction t ∈ D dans la limite (3.3).
D´ efinition 3.6. Une martingale (X t ) t≥0 est dite ferm´ ee s’il existe une variable Z ∈ L 1
telle que, pour tout t ≥ 0,
X t = E[Z | F t ].
La proposition suivante est l’analogue continu d’un r´ esultat pour les martingales
discr` etes rappel´ e dans l’Appendice A2.
Proposition 3.9. Soit (X t ) t≥0 une martingale `
a trajectoires continues `
a droite. Alors
il y a ´
equivalence entre
(i) (X t ) t≥0 est ferm´ ee;
(ii) X t converge p.s. et dans L 1 quand t → ∞, vers une variable not´ ee X ∞ ;
(iii) la famille (X t ) t≥0 est uniform´ ement int´ egrable.
De plus si ces propri´ et´ es sont satisfaites on a X t = E[X ∞ | F t ] pour tout t ≥ 0.
Nous utilisons maintenant les th´ eor` emes d’arrˆ et du cas discret pour ´
etablir des
r´ esultats analogues `
a temps continu. Si (X t ) t≥0 est une martingale ou une surmartingale `
a trajectoires continues `
a droite et qui converge p.s. quand t → ∞ vers une limite
not´ ee X ∞ , pour tout temps d’arrˆ et T , on notera X T la variable
puisque la famille (X t ) t ≥ 0 est bornée dans L 1 . Donc, p.s. pour tous rationnels a
ab (D)<∞. Cela suffit pour obtenir que la limite
Démonstration. L’implication (i)⇒(iii) est facile : si Z ∈ L 1 , la famille des variables E[Z | G ], lorsque G décrit l’ensemble des sous-tribus de F , est uniformément intégrable. Si (iii) est vrai, la Théorème 3.5 entraîne que X t converge p.s.
vers X ∞ , donc aussi dans L 1 par uniforme intégrabilité. Enfin, si (ii) est vérifié, on
peut passer à la limite t → ∞ dans L 1 dans l’égalité X s = E[X t | F s ] et on trouve
X s = E[X ∞ | F s ].
3 Filtrations et martingales
D´ emonstration. Soit D un sous-ensemble d´ enombrable dense de R + . D’apr` es la
preuve du Th´ eor` eme 3.3, on a pour tout T ∈ D et a < b,
E[M
X
ab (D ∩ [0, T ])] ≤
1
b − a
E[(X T − a)
− ].
Par convergence monotone, on a pour tous a < b,
E[M
X
ab (D)] ≤
1
b − a
sup
t≥0
E[(X t − a) − ] < ∞,
X ∞ := lim
Dt→∞
X t
(3.3)
existe p.s. dans [−∞, ∞]. Le lemme de Fatou montre alors que
E[|X ∞ |] ≤ lim inf
Dt→∞
E[|X t |] < ∞.
Donc X ∞ ∈ L 1 (en particulier |X ∞ | < ∞ p.s.). La continuit´ e `
a droite des trajectoires
permet de supprimer la restriction t ∈ D dans la limite (3.3).
D´ efinition 3.6. Une martingale (X t ) t≥0 est dite ferm´ ee s’il existe une variable Z ∈ L 1
telle que, pour tout t ≥ 0,
X t = E[Z | F t ].
La proposition suivante est l’analogue continu d’un r´ esultat pour les martingales
discr` etes rappel´ e dans l’Appendice A2.
Proposition 3.9. Soit (X t ) t≥0 une martingale `
a trajectoires continues `
a droite. Alors
il y a ´
equivalence entre
(i) (X t ) t≥0 est ferm´ ee;
(ii) X t converge p.s. et dans L 1 quand t → ∞, vers une variable not´ ee X ∞ ;
(iii) la famille (X t ) t≥0 est uniform´ ement int´ egrable.
De plus si ces propri´ et´ es sont satisfaites on a X t = E[X ∞ | F t ] pour tout t ≥ 0.
Nous utilisons maintenant les th´ eor` emes d’arrˆ et du cas discret pour ´
etablir des
r´ esultats analogues `
a temps continu. Si (X t ) t≥0 est une martingale ou une surmartingale `
a trajectoires continues `
a droite et qui converge p.s. quand t → ∞ vers une limite
not´ ee X ∞ , pour tout temps d’arrˆ et T , on notera X T la variable
puisque la famille (X t ) t ≥ 0 est bornée dans L 1 . Donc, p.s. pour tous rationnels a
ab (D)<∞. Cela suffit pour obtenir que la limite
Démonstration. L’implication (i)⇒(iii) est facile : si Z ∈ L 1 , la famille des variables E[Z | G ], lorsque G décrit l’ensemble des sous-tribus de F , est uniformément intégrable. Si (iii) est vrai, la Théorème 3.5 entraîne que X t converge p.s.
vers X ∞ , donc aussi dans L 1 par uniforme intégrabilité. Enfin, si (ii) est vérifié, on
peut passer à la limite t → ∞ dans L 1 dans l’égalité X s = E[X t | F s ] et on trouve
X s = E[X ∞ | F s ].