3.4 Th´ eor` emes d’arrˆ et
47
E[X s+ 1 A ] = lim
n→∞
E[X s n 1 A ] ≥ lim
n→∞
E[X t n 1 A ] = E[X t+ 1 A ] = E[E[X t+ | F s+ ]1 A ],
ce qui entraˆ ıne X s+ ≥ E[X t+ | F s+ ] puisque X s+ et E[X t+ | F s+ ] sont toutes deux
F s+ -mesurables. Enfin, si X est une martingale, on peut remplacer dans le calcul
pr´ ec´ edent l’in´ egalit´ e ≥ par une ´
egalit´ e.
Th´ eor` eme 3.4. Supposons que la filtration (F t ) satisfait les conditions habituelles.
Si X = (X t ) t≥0 est une surmartingale et si la fonction t −→ E[X t ] est continue `
a
droite, alors X a une modification, qui est aussi une (F t )-surmartingale, dont les
trajectoires sont c` adl` ag.
D´ emonstration. Fixons un ensemble D comme dans le Th´ eor` eme 3.3. Soit N
l’ensemble n´ egligeable d´ efini par (3.2). Posons alors, pour tout t ≥ 0,
Y t (ω) =
X t+ (ω) si ω /
∈ N
0
si ω ∈ N.
Le Lemme 3.1 montre alors que les trajectoires de Y sont c` adl` ag.
Rappelons que la variable X t+ est F t+ -mesurable, et donc ici F t -mesurable
puisque la filtration est continue `
a droite. Puisque l’ensemble n´ egligeable N est dans
F ∞ , le fait que la filtration soit compl` ete assure aussi que Y t est F t -mesurable. Enfin, on a d’apr` es le Th´ eor` eme 3.3 (ii),
X t = E[X t+ | F t ] = X t+ = Y t , p.s.
puisque X t+ est F t -mesurable. On voit ainsi que Y est une modification de X. Le
processus Y est adapt´ e `
a la filtration (F t ) et il est aussi imm´ ediat que Y est une
(F t )-surmartingale.
Remarque. Si la filtration est quelconque, on peut toujours appliquer le th´ eor` eme
pr´ ec´ edent `
a l’augmentation habituelle de (F t ) et au processus (X t+ ) du Th´ eor` eme
3.3 (remarquer que l’application t → E[X t+ ] est toujours continue `
a droite). On
trouve ainsi que (X t+ ) a une modification c` adl` ag.
En particulier, si on sait `
a l’avance que les trajectoires de X sont continues `
a
droite, on en d´ eduit que p.s. elles ont aussi des limites `
a gauche (une modification
continue `
a droite est unique `
a indistinguabilit´ e pr` es).
3.4 Th´ eor` emes d’arrˆ et
Nous commenc ¸ons par un th´ eor` eme de convergence pour les surmartingales.
Th´ eor` eme 3.5. Soit X une surmartingale `
a trajectoires continues `
a droite et born´ ee
dans L 1 . Alors, il existe une variable X ∞ ∈ L 1 telle que
lim
t→∞
X t = X ∞ , p.s.
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E[X s+ 1 A ] = lim
n→∞
E[X s n 1 A ] ≥ lim
n→∞
E[X t n 1 A ] = E[X t+ 1 A ] = E[E[X t+ | F s+ ]1 A ],
ce qui entraˆ ıne X s+ ≥ E[X t+ | F s+ ] puisque X s+ et E[X t+ | F s+ ] sont toutes deux
F s+ -mesurables. Enfin, si X est une martingale, on peut remplacer dans le calcul
pr´ ec´ edent l’in´ egalit´ e ≥ par une ´
egalit´ e.
Th´ eor` eme 3.4. Supposons que la filtration (F t ) satisfait les conditions habituelles.
Si X = (X t ) t≥0 est une surmartingale et si la fonction t −→ E[X t ] est continue `
a
droite, alors X a une modification, qui est aussi une (F t )-surmartingale, dont les
trajectoires sont c` adl` ag.
D´ emonstration. Fixons un ensemble D comme dans le Th´ eor` eme 3.3. Soit N
l’ensemble n´ egligeable d´ efini par (3.2). Posons alors, pour tout t ≥ 0,
Y t (ω) =
X t+ (ω) si ω /
∈ N
0
si ω ∈ N.
Le Lemme 3.1 montre alors que les trajectoires de Y sont c` adl` ag.
Rappelons que la variable X t+ est F t+ -mesurable, et donc ici F t -mesurable
puisque la filtration est continue `
a droite. Puisque l’ensemble n´ egligeable N est dans
F ∞ , le fait que la filtration soit compl` ete assure aussi que Y t est F t -mesurable. Enfin, on a d’apr` es le Th´ eor` eme 3.3 (ii),
X t = E[X t+ | F t ] = X t+ = Y t , p.s.
puisque X t+ est F t -mesurable. On voit ainsi que Y est une modification de X. Le
processus Y est adapt´ e `
a la filtration (F t ) et il est aussi imm´ ediat que Y est une
(F t )-surmartingale.
Remarque. Si la filtration est quelconque, on peut toujours appliquer le th´ eor` eme
pr´ ec´ edent `
a l’augmentation habituelle de (F t ) et au processus (X t+ ) du Th´ eor` eme
3.3 (remarquer que l’application t → E[X t+ ] est toujours continue `
a droite). On
trouve ainsi que (X t+ ) a une modification c` adl` ag.
En particulier, si on sait `
a l’avance que les trajectoires de X sont continues `
a
droite, on en d´ eduit que p.s. elles ont aussi des limites `
a gauche (une modification
continue `
a droite est unique `
a indistinguabilit´ e pr` es).
3.4 Th´ eor` emes d’arrˆ et
Nous commenc ¸ons par un th´ eor` eme de convergence pour les surmartingales.
Th´ eor` eme 3.5. Soit X une surmartingale `
a trajectoires continues `
a droite et born´ ee
dans L 1 . Alors, il existe une variable X ∞ ∈ L 1 telle que
lim
t→∞
X t = X ∞ , p.s.