46
3 Filtrations et martingales
l’in´ egalit´ e des nombres de mont´ ees de Doob (voir l’Appendice A2) donne, pour
tous a < b et tout m ≥ 1,
E[M
X
ab (D m )] ≤
1
b − a
E[(X T − a)
− ].
On peut faire tendre m vers ∞ et obtenir par convergence monotone
E[M
X
ab (D ∩ [0, T ])] ≤
1
b − a
E[(X T − a)
− ] < ∞.
On a donc
M
X
ab ([0, T ] ∩ D) < ∞ , p.s.
Posons
N =
T ∈D
sup
t∈D∩[0,T ]
|X t | = ∞
∪
a,b∈Q,a
X
ab (D ∩ [0, T ]) = ∞}
.
(3.2)
Alors P(N) = 0, et d’autre part si ω /
∈ N, la fonction D t → X t (ω) satisfait les
hypoth` eses du Lemme 3.1, ce qui donne le r´ esultat de (i).
(ii) Pour que X t+ (ω) soit d´ efini pour tout ω et pas seulement sur l’ensemble Ω \N,
on pose
X t+ (ω) =
lim
s↓↓t,s∈D
X s (ω) si la limite existe
0
sinon.
Fixons t ≥ 0 et choisissons une suite (t n ) n∈N dans D telle que t n d´ ecroˆ ıt strictement vers t quand n → ∞. Alors, par construction on a p.s.,
X t+ = lim
n→∞
X t n .
Grˆ ace `
a la convergence dans L 1 , on peut passer `
a la limite dans l’in´ egalit´ e X t ≥
E[X t n | F t ], et on trouve
X t ≥ E[X t + | F t ].
De plus, toujours grˆ ace `
a la convergence dans L 1 , on a E[X t+ ] = lim E[X t n ] et donc,
si la fonction s −→ E[X s ] est continue `
a droite, on doit avoir E[X t+ ] = E[X t ]. Clairement, l’in´ egalit´ e X t ≥ E[X t + | F t ] n’est alors possible que si X t = E[X t + | F t ].
Nous avons d´ ej` a remarqu´ e que X t+ est F t+ -mesurable. Soient ensuite s < t et
soit aussi une suite (s n ) n∈N dans D qui d´ ecroˆ ıt strictement vers s. On peut bien
sˆ ur supposer s n ≤ t n pour tout n. Alors X s n converge vers X s+ dans L 1 , et donc, si
A ∈ F s+ ⊂ F s n pour tout n,
Avec cette convention, X t+ est F t+ -mesurable.
De plus, posons, pour tout entier k ≤ 0, Y k =X t − k . Alors Y est une surmartingale
rétrograde par rapport à la filtration H k =F t − k (voir l’Appendice A2). D’après la
Proposition 3.6, on a sup k ≤ 0 E[|Y k |]<∞. Le théorème de convergence pour les surmartingales discrètes rétrogrades (voir l’Appendice A2) entraîne alors que la suite
X t n converge dans L 1 vers X t+ . En particulier X t+ ∈ L 1 .
3 Filtrations et martingales
l’in´ egalit´ e des nombres de mont´ ees de Doob (voir l’Appendice A2) donne, pour
tous a < b et tout m ≥ 1,
E[M
X
ab (D m )] ≤
1
b − a
E[(X T − a)
− ].
On peut faire tendre m vers ∞ et obtenir par convergence monotone
E[M
X
ab (D ∩ [0, T ])] ≤
1
b − a
E[(X T − a)
− ] < ∞.
On a donc
M
X
ab ([0, T ] ∩ D) < ∞ , p.s.
Posons
N =
T ∈D
sup
t∈D∩[0,T ]
|X t | = ∞
∪
a,b∈Q,a
X
ab (D ∩ [0, T ]) = ∞}
.
(3.2)
Alors P(N) = 0, et d’autre part si ω /
∈ N, la fonction D t → X t (ω) satisfait les
hypoth` eses du Lemme 3.1, ce qui donne le r´ esultat de (i).
(ii) Pour que X t+ (ω) soit d´ efini pour tout ω et pas seulement sur l’ensemble Ω \N,
on pose
X t+ (ω) =
lim
s↓↓t,s∈D
X s (ω) si la limite existe
0
sinon.
Fixons t ≥ 0 et choisissons une suite (t n ) n∈N dans D telle que t n d´ ecroˆ ıt strictement vers t quand n → ∞. Alors, par construction on a p.s.,
X t+ = lim
n→∞
X t n .
Grˆ ace `
a la convergence dans L 1 , on peut passer `
a la limite dans l’in´ egalit´ e X t ≥
E[X t n | F t ], et on trouve
X t ≥ E[X t + | F t ].
De plus, toujours grˆ ace `
a la convergence dans L 1 , on a E[X t+ ] = lim E[X t n ] et donc,
si la fonction s −→ E[X s ] est continue `
a droite, on doit avoir E[X t+ ] = E[X t ]. Clairement, l’in´ egalit´ e X t ≥ E[X t + | F t ] n’est alors possible que si X t = E[X t + | F t ].
Nous avons d´ ej` a remarqu´ e que X t+ est F t+ -mesurable. Soient ensuite s < t et
soit aussi une suite (s n ) n∈N dans D qui d´ ecroˆ ıt strictement vers s. On peut bien
sˆ ur supposer s n ≤ t n pour tout n. Alors X s n converge vers X s+ dans L 1 , et donc, si
A ∈ F s+ ⊂ F s n pour tout n,
Avec cette convention, X t+ est F t+ -mesurable.
De plus, posons, pour tout entier k ≤ 0, Y k =X t − k . Alors Y est une surmartingale
rétrograde par rapport à la filtration H k =F t − k (voir l’Appendice A2). D’après la
Proposition 3.6, on a sup k ≤ 0 E[|Y k |]<∞. Le théorème de convergence pour les surmartingales discrètes rétrogrades (voir l’Appendice A2) entraîne alors que la suite
X t n converge dans L 1 vers X t+ . En particulier X t+ ∈ L 1 .