3.3 Martingales et surmartingales `
a temps continu
45
lim
s↓t,s>t
f (s)
(resp. lim
s↑t,s
On dit qu’une fonction g : R + → R est c` adl` ag si elle est continue `
a droite et si elle
admet une limite `
a gauche en tout t > 0.
Lemme 3.1. Soit D un sous-ensemble d´ enombrable dense de R + et soit f une fonction d´ efinie sur D et `
a valeurs r´ eelles. Supposons que, pour tout r´ eel T ∈ D, la
fonction f est born´ ee sur D ∩ [0, T ], et que, pour tout choix des rationnels a et b tels
que a < b on a
M
f
ab (D ∩ [0, T ]) < ∞.
Alors, la limite `
a droite
f (t+) := lim
s↓↓t,s∈D
f (s)
existe pour tout r´ eel t ≥ 0, et de mˆ eme la limite `
a gauche
f (t−) := lim
s↑↑t,s∈D
f (s)
existe pour tout r´ eel t > 0. De plus, la fonction g : R + −→ R d´ efinie par g(t) = f (t+)
est c` adl` ag.
La preuve de ce lemme d’analyse est laiss´ ee au lecteur. Il est important de noter
que les limites `
a droite et `
a gauche f (t+) et f (t−) sont d´ efinies pour tout r´ eel t
(t > 0 dans le cas de f (t−)) et pas seulement pour t ∈ D.
Th´ eor` eme 3.3. Soit (X t ) t≥0 une surmartingale et soit D un sous-ensemble d´ enombrable dense de R + .
(i) Pour presque tout ω ∈ Ω , la restriction `
a D de l’application s → X s (ω) admet
en tout point t de R + une limite `
a droite finie not´ ee X t+ (ω) et en tout point t de
R + \{0} une limite `
a gauche finie not´ ee X t− (ω).
(ii) Pour tout t ∈ R + , X t+ ∈ L 1 et
X t ≥ E[X t+ | F t ]
avec ´
egalit´ e si la fonction t −→ E[X t ] est continue `
a droite (en particulier si X
est une martingale). Le processus (X t+ ) t≥0 est une surmartingale par rapport `
a la
filtration (F t+ ), une martingale si X en est une.
Remarque. Pour les assertions de (ii), particuli` erement la derni` ere, il faut que
X t+ (ω) soit d´ efini pour tout ω ∈ Ω et pas seulement en dehors d’un ensemble
n´ egligeable comme dans (i) : ce point sera pr´ ecis´ e dans la preuve qui suit.
D´ emonstration. (i) Fixons T ∈ D. D’apr` es la remarque suivant la Proposition 3.8,
on a
sup
s∈D∩[0,T ]
|X s | < ∞ , p.s.
Comme dans la preuve de la Proposition 3.8, on peut choisir une suite (D m ) m≥1
de sous-ensembles finis de D croissant vers D ∩ [0, T ] (et tels que 0, T ∈ D m ) et
a temps continu
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lim
s↓t,s>t
f (s)
(resp. lim
s↑t,s
On dit qu’une fonction g : R + → R est c` adl` ag si elle est continue `
a droite et si elle
admet une limite `
a gauche en tout t > 0.
Lemme 3.1. Soit D un sous-ensemble d´ enombrable dense de R + et soit f une fonction d´ efinie sur D et `
a valeurs r´ eelles. Supposons que, pour tout r´ eel T ∈ D, la
fonction f est born´ ee sur D ∩ [0, T ], et que, pour tout choix des rationnels a et b tels
que a < b on a
M
f
ab (D ∩ [0, T ]) < ∞.
Alors, la limite `
a droite
f (t+) := lim
s↓↓t,s∈D
f (s)
existe pour tout r´ eel t ≥ 0, et de mˆ eme la limite `
a gauche
f (t−) := lim
s↑↑t,s∈D
f (s)
existe pour tout r´ eel t > 0. De plus, la fonction g : R + −→ R d´ efinie par g(t) = f (t+)
est c` adl` ag.
La preuve de ce lemme d’analyse est laiss´ ee au lecteur. Il est important de noter
que les limites `
a droite et `
a gauche f (t+) et f (t−) sont d´ efinies pour tout r´ eel t
(t > 0 dans le cas de f (t−)) et pas seulement pour t ∈ D.
Th´ eor` eme 3.3. Soit (X t ) t≥0 une surmartingale et soit D un sous-ensemble d´ enombrable dense de R + .
(i) Pour presque tout ω ∈ Ω , la restriction `
a D de l’application s → X s (ω) admet
en tout point t de R + une limite `
a droite finie not´ ee X t+ (ω) et en tout point t de
R + \{0} une limite `
a gauche finie not´ ee X t− (ω).
(ii) Pour tout t ∈ R + , X t+ ∈ L 1 et
X t ≥ E[X t+ | F t ]
avec ´
egalit´ e si la fonction t −→ E[X t ] est continue `
a droite (en particulier si X
est une martingale). Le processus (X t+ ) t≥0 est une surmartingale par rapport `
a la
filtration (F t+ ), une martingale si X en est une.
Remarque. Pour les assertions de (ii), particuli` erement la derni` ere, il faut que
X t+ (ω) soit d´ efini pour tout ω ∈ Ω et pas seulement en dehors d’un ensemble
n´ egligeable comme dans (i) : ce point sera pr´ ecis´ e dans la preuve qui suit.
D´ emonstration. (i) Fixons T ∈ D. D’apr` es la remarque suivant la Proposition 3.8,
on a
sup
s∈D∩[0,T ]
|X s | < ∞ , p.s.
Comme dans la preuve de la Proposition 3.8, on peut choisir une suite (D m ) m≥1
de sous-ensembles finis de D croissant vers D ∩ [0, T ] (et tels que 0, T ∈ D m ) et