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3 Filtrations et martingales
Mais il est imm´ ediat que
P
sup
s∈D m
|X s | > λ
↑ P
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | > λ
quand m ↑ ∞. On a donc aussi
λ P
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | > λ
≤ E[|X 0 |] + 2E[|X t |].
Enfin, la continuit´ e `
a droite des trajectoires, et le fait que t ∈ D, assurent que
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | = sup
s∈[0,t]
|X s |.
(3.1)
La majoration de (i) d´ ecoule de ces observations.
(ii) En suivant la mˆ eme d´ emarche que dans la preuve de (i), et en utilisant l’in´ egalit´ e
de Doob dans L p pour les martingales discr` etes (voir l’Appendice A2), on trouve,
pour tout entier m ≥ 1,
E
sup
s∈D m
|X s |
p
≤
p
p − 1
p
E[|X t |
p ].
Il suffit maintenant de faire tendre m vers l’infini, en utilisant le th´ eor` eme de convergence monotone, et ensuite d’appliquer (3.1).
Remarque. Si on ne suppose pas que les trajectoires sont continues `
a droite, la
preuve ci-dessus montre que, pour tout sous-ensemble d´ enombrable dense D de R +
et tout t > 0,
P
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | > λ
≤
1
λ
(E[|X 0 |] + 2E[|X t |]).
En faisant tendre λ vers ∞, on a en particulier
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | < ∞ , p.s.
Nombres de mont´ ees. Si f : I −→ R est une fonction d´ efinie sur une partie I de R + ,
et si a < b, le nombre de mont´ ees de f le long de [a, b], not´ e M
f
ab (I) est le supremum
des entiers k ≥ 1 tels que l’on puisse trouver une suite finie croissante s 1 < t 1 < · · · <
s k < t k d’´ el´ ements de I tels que f (s i ) < a et f (t i ) > b pour tout i ∈ {1, . . . , k} (s’il
n’existe de telle suite pour aucun entier k ≥ 1, on prend M
f
ab (I) = 0). Il est commode
d’utiliser les nombres de mont´ ees pour ´
etudier la r´ egularit´ e des fonctions.
Dans le lemme suivant, la notation
lim
s↓↓t
f (s)
(resp. lim
s↑↑t
f (s) )
signifie
3 Filtrations et martingales
Mais il est imm´ ediat que
P
sup
s∈D m
|X s | > λ
↑ P
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | > λ
quand m ↑ ∞. On a donc aussi
λ P
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | > λ
≤ E[|X 0 |] + 2E[|X t |].
Enfin, la continuit´ e `
a droite des trajectoires, et le fait que t ∈ D, assurent que
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | = sup
s∈[0,t]
|X s |.
(3.1)
La majoration de (i) d´ ecoule de ces observations.
(ii) En suivant la mˆ eme d´ emarche que dans la preuve de (i), et en utilisant l’in´ egalit´ e
de Doob dans L p pour les martingales discr` etes (voir l’Appendice A2), on trouve,
pour tout entier m ≥ 1,
E
sup
s∈D m
|X s |
p
≤
p
p − 1
p
E[|X t |
p ].
Il suffit maintenant de faire tendre m vers l’infini, en utilisant le th´ eor` eme de convergence monotone, et ensuite d’appliquer (3.1).
Remarque. Si on ne suppose pas que les trajectoires sont continues `
a droite, la
preuve ci-dessus montre que, pour tout sous-ensemble d´ enombrable dense D de R +
et tout t > 0,
P
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | > λ
≤
1
λ
(E[|X 0 |] + 2E[|X t |]).
En faisant tendre λ vers ∞, on a en particulier
sup
s∈D∩[0,t]
|X s | < ∞ , p.s.
Nombres de mont´ ees. Si f : I −→ R est une fonction d´ efinie sur une partie I de R + ,
et si a < b, le nombre de mont´ ees de f le long de [a, b], not´ e M
f
ab (I) est le supremum
des entiers k ≥ 1 tels que l’on puisse trouver une suite finie croissante s 1 < t 1 < · · · <
s k < t k d’´ el´ ements de I tels que f (s i ) < a et f (t i ) > b pour tout i ∈ {1, . . . , k} (s’il
n’existe de telle suite pour aucun entier k ≥ 1, on prend M
f
ab (I) = 0). Il est commode
d’utiliser les nombres de mont´ ees pour ´
etudier la r´ egularit´ e des fonctions.
Dans le lemme suivant, la notation
lim
s↓↓t
f (s)
(resp. lim
s↑↑t
f (s) )
signifie