3.3 Martingales et surmartingales `
a temps continu
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Proposition 3.7. Soit (M t ) t≥0 une martingale de carr´ e int´ egrable (M t ∈ L 2 pour
tout t ≥ 0). Soient 0 ≤ s < t et soit s = t 0 < t 1 < · · · < t p = t une subdivision de
l’intervalle [s,t]. Alors,
E
p
∑
i=1
(M t i − M t i−1 )
2
F s
= E[M
2
t − M
2
s | F s ] = E[(M t − M s )
2 | F s ].
En particulier,
E
p
∑
i=1
(M t i − M t i−1 )
2
= E[M
2
t − M
2
s ] = E[(M t − M s )
2 ].
D´ emonstration. Pour tout i = 1, . . . , p,
E[(M t i − M t i−1 )
2 | F s ] = E[E[(M t i − M t i−1 )
2 | F t i−1 ] | F s ]
= E
E[M
2
t i
| F t i−1 ] − 2M t i−1 E[M t i | F t i−1 ] + M
2
t i−1
F s
= E
E[M
2
t i
| F t i−1 ] − M
2
t i−1
F s
= E[M
2
t i
− M
2
t i−1
| F s ]
d’o` u ais´ ement le r´ esultat voulu.
Notre objectif est maintenant d’´ etablir des r´ esultats de r´ egularit´ e des trajectoires
pour les martingales et les surmartingales `
a temps continu. Nous commenc ¸ons par
´
etablir des analogues d’in´ egalit´ es classiques `
a temps discret.
Proposition 3.8. (i) (In´ egalit´ e maximale) Soit (X t ) t≥0 une surmartingale `
a trajectoires continues `
a droite. Alors, pour tout t > 0 et tout λ > 0,
λ P
sup
0≤s≤t
|X s | > λ
≤ E[|X 0 |] + 2E[|X t |].
(ii) (In´ egalit´ e de Doob dans L p ) Soit (X t ) t≥0 une martingale `
a trajectoires continues
`
a droite. Alors pour tout t > 0 et tout p > 1,
E
sup
0≤s≤t
|X s |
p
≤
p
p − 1
p
E[|X t |
p ].
λ P
sup
s∈D m
|X s | > λ
≤ E[|X 0 |] + 2E[|X t |].
Démonstration. (i) Fixons t>0 et considérons un sous-ensemble dénombrable dense
D de R + tel que 0 ∈ D et t ∈ D. On peut écrire D∩[0, t] comme la réunion croissante
d’une suite (D m ) m ≥ 1 de parties finies de [0, t] de la forme D m = {t m
0 , t m
1 , . . . , t m
m }
avec 0 = t m
0 < t m
1 < · · · < t m
m = t. Pour chaque valeur de m fixée on peut appliquer
l’inégalité maximale (voir l’Appendice A2 ci-dessous) à la suite Y n = X t m
n ∧ m
qui est
une surmartingale discrète relativement à la filtration G n = F t m
n ∧ m
. On trouve ainsi