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3 Filtrations et martingales
On peut enfin prendre Z = N, processus de Poisson standard (et pour (F t ) la
filtration canonique de N), et on trouve alors en particulier que
N t − t , (N t − t)
2 − t
sont des martingales.
Proposition 3.5. Soit (X t ) t≥0 une martingale (respectivement une sous-martingale)
et soit f : R −→ R + une fonction convexe (resp. une fonction convexe croissante).
Supposons aussi que E[ f (X t )] < ∞ pour tout t ≥ 0. Alors, ( f (X t )) t≥0 est une sousmartingale.
D´ emonstration. D’apr` es l’in´ egalit´ e de Jensen, on a pour s < t
E[ f (X t ) | F s ] ≥ f (E[X t | F s ]) ≥ f (X s ),
la derni` ere in´ egalit´ e utilisant le caract` ere croissant de f lorsque (X t ) est une sousmartingale.
Cons´ equences. Si (X t ) t≥0 est une martingale, |X t | est une sous-martingale, et plus
g´ en´ eralement, pour tout r´ eel p ≥ 1, |X t | p est une sous-martingale, `
a condition qu’on
ait E[|X t | p ] < ∞ pour tout t ≥ 0. Si (X t ) t≥0 est une sous-martingale, (X t ) + est aussi
une sous-martingale.
Remarque. Si (X t ) t≥0 est une martingale quelconque, l’in´ egalit´ e de Jensen montre
que, pour tout p ≥ 1, E[|X t | p ] est fonction croissante de t `
a valeurs dans [0, ∞].
Proposition 3.6. Soit (X t ) t≥0 une sous-martingale ou une surmartingale. Alors pour
tout t > 0,
sup
0≤s≤t
E[|X s |] < ∞.
D´ emonstration. Il suffit bien sˆ ur de traiter le cas o` u (X t ) t≥0 est une sous-martingale.
Puisque (X t ) + est aussi une sous-martingale, on a pour tout s ∈ [0,t],
E[(X s )
+ ] ≤ E[(X t )
+ ].
D’autre part, puisque X est une sous-martingale on a aussi pour s ∈ [0,t],
E[X s ] ≥ E[X 0 ].
En combinant ces deux in´ egalit´ es, et en remarquant que |x| = 2x + − x, on trouve
sup
s∈[0,t]
E[|X s |] ≤ 2 E[(X t )
+ ] − E[X 0 ] < ∞,
d’o` u le r´ esultat voulu.
La proposition suivante sera tr` es utile dans l’´ etude des martingales de carr´ e
int´ egrable.