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3 Filtrations et martingales
Proposition 3.4. Soit (X t ) t≥0 un processus adapt´ e, `
a valeurs dans un espace m´ etrique
(E, d).
(i) Supposons que les trajectoires de X sont continues `
a droite, et soit O un ouvert
de E. Alors
T O = inf{t ≥ 0 : X t ∈ O}
est un temps d’arrˆ et de la filtration (F t+ ).
(ii) Supposons que les trajectoires de X sont continues, et soit F un ferm´ e de E.
Alors
T F = inf{t ≥ 0 : X t ∈ F}
est un temps d’arrˆ et.
D´ emonstration. (i) On a pour tout t ≥ 0,
{T O < t} =
s∈[0,t[∩Q
{X s ∈ O} ∈ F t .
(ii) De mˆ eme,
{T F ≤ t} =
inf
0≤s≤t
d(X s , F) = 0
=
inf
s∈[0,t]∩Q
d(X s , F) = 0
∈ F t .
3.3 Martingales et surmartingales `
a temps continu
Rappelons qu’on a fix´ e un espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P). Dans la suite
de ce chapitre, tous les processus sont `
a valeurs r´ eelles.
D´ efinition 3.5. Un processus (X t ) t≥0 adapt´ e et tel que X t ∈ L 1 pour tout t ≥ 0, est
appel´ e
· martingale si, pour tous 0 ≤ s < t, E[X t | F s ] = X s ;
· surmartingale si, pour tous 0 ≤ s < t, E[X t | F s ] ≤ X s ;
· sous-martingale si, pour tous 0 ≤ s < t, E[X t | F s ] ≥ X s .
Cette d´ efinition g´ en´ eralise de mani` ere ´
evidente les notions analogues `
a temps
discret, o` u on consid` ere un processus (Y n ) n∈N index´ e par les entiers positifs, ainsi
qu’une filtration discr` ete (G n ) n∈N (voir l’Appendice A2 ci-dessous).
Si (X t ) t≥0 est une surmartingale, (−X t ) t≥0 est une sous-martingale. Pour cette
raison, une partie des r´ esultats qui suivent sont ´
enonc´ es seulement pour des surmartingales, les analogues pour des sous-martingales en d´ ecoulant imm´ ediatement.
Exemple important. On dit qu’un processus (Z t ) t≥0 (` a valeurs r´ eelles) est un processus `
a accroissements ind´ ependants (PAI) par rapport `
a la filtration (F t ) si Z est
adapt´ e et si, pour tous 0 ≤ s < t, Z t − Z s est ind´ ependant de la tribu F s (par exemple
un mouvement brownien est un PAI par rapport `
a sa filtration canonique, compl´ et´ ee
ou non). Si Z est un PAI par rapport `
a (F t ), alors
3 Filtrations et martingales
Proposition 3.4. Soit (X t ) t≥0 un processus adapt´ e, `
a valeurs dans un espace m´ etrique
(E, d).
(i) Supposons que les trajectoires de X sont continues `
a droite, et soit O un ouvert
de E. Alors
T O = inf{t ≥ 0 : X t ∈ O}
est un temps d’arrˆ et de la filtration (F t+ ).
(ii) Supposons que les trajectoires de X sont continues, et soit F un ferm´ e de E.
Alors
T F = inf{t ≥ 0 : X t ∈ F}
est un temps d’arrˆ et.
D´ emonstration. (i) On a pour tout t ≥ 0,
{T O < t} =
s∈[0,t[∩Q
{X s ∈ O} ∈ F t .
(ii) De mˆ eme,
{T F ≤ t} =
inf
0≤s≤t
d(X s , F) = 0
=
inf
s∈[0,t]∩Q
d(X s , F) = 0
∈ F t .
3.3 Martingales et surmartingales `
a temps continu
Rappelons qu’on a fix´ e un espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P). Dans la suite
de ce chapitre, tous les processus sont `
a valeurs r´ eelles.
D´ efinition 3.5. Un processus (X t ) t≥0 adapt´ e et tel que X t ∈ L 1 pour tout t ≥ 0, est
appel´ e
· martingale si, pour tous 0 ≤ s < t, E[X t | F s ] = X s ;
· surmartingale si, pour tous 0 ≤ s < t, E[X t | F s ] ≤ X s ;
· sous-martingale si, pour tous 0 ≤ s < t, E[X t | F s ] ≥ X s .
Cette d´ efinition g´ en´ eralise de mani` ere ´
evidente les notions analogues `
a temps
discret, o` u on consid` ere un processus (Y n ) n∈N index´ e par les entiers positifs, ainsi
qu’une filtration discr` ete (G n ) n∈N (voir l’Appendice A2 ci-dessous).
Si (X t ) t≥0 est une surmartingale, (−X t ) t≥0 est une sous-martingale. Pour cette
raison, une partie des r´ esultats qui suivent sont ´
enonc´ es seulement pour des surmartingales, les analogues pour des sous-martingales en d´ ecoulant imm´ ediatement.
Exemple important. On dit qu’un processus (Z t ) t≥0 (` a valeurs r´ eelles) est un processus `
a accroissements ind´ ependants (PAI) par rapport `
a la filtration (F t ) si Z est
adapt´ e et si, pour tous 0 ≤ s < t, Z t − Z s est ind´ ependant de la tribu F s (par exemple
un mouvement brownien est un PAI par rapport `
a sa filtration canonique, compl´ et´ ee
ou non). Si Z est un PAI par rapport `
a (F t ), alors