3.2 Temps d’arrˆ et et tribus associ´ ees
39
En particulier, si T est un temps d’arrˆ et,
T n =
∞
∑
k=0
k + 1
2 n 1 {k2 −n
d´ efinit une suite de temps d’arrˆ et qui d´ ecroˆ ıt vers T .
D´ emonstration. On ´
ecrit
{S ≤ t} = {S ≤ t} ∩ {T ≤ t} ∈ F t
puisque {S ≤ t} est F T -mesurable. La deuxi` eme assertion en d´ ecoule puisque T n
est clairement F T -mesurable et T n ≥ T .
Nous terminons ce paragraphe avec un th´ eor` eme g´ en´ eral qui permet la construction de nombreux temps d’arrˆ et.
Th´ eor` eme 3.2. On suppose que la filtration (F t ) v´ erifie les conditions habituelles
(elle est compl` ete et continue `
a droite). Soit A ⊂ Ω × R + un ensemble progressif
(i.e. tel que le processus X t (ω) = 1 A (ω,t) soit progressif) et soit D A le d´ ebut de A
d´ efini par
D A (ω) = inf{t ≥ 0 : (ω,t) ∈ A}
(avec inf ∅ = ∞).
Alors D A est un temps d’arrˆ et.
La preuve de ce th´ eor` eme repose sur le r´ esultat difficile de th´ eorie de la mesure
qui suit.
Th´ eor` eme. Soit (Λ , G , Π ) un espace de probabilit´ e complet, au sens o` u la tribu
G contient tous les ensembles Π -n´ egligeables. Soit H ⊂ Λ × R + un ensemble
mesurable pour la tribu produit G ⊗ B(R + ). Alors la projection de H,
p(H) = {ω ∈ Λ : ∃t ≥ 0, (ω,t) ∈ H}
appartient `
a la tribu G .
(Pour une preuve voir par exemple le Chapitre III de [1].)
D´ emonstration du Th´ eor` eme 3.2. On applique le th´ eor` eme ci-dessus en fixant
t ≥ 0, en prenant (Λ , G , Π ) = (Ω , F t , P) et H = (Ω × [0,t[) ∩ A. La d´ efinition
d’un processus progressif montre que H est mesurable pour F t ⊗ B(R + ). En
cons´ equence,
p(H) = {ω ∈ Ω : ∃s < t, (ω, s) ∈ A} ∈ F t .
Or {D A < t} = p(H). On a donc obtenu {D A < t} ∈ F t et puisque la filtration est
continue `
a droite, la propri´ et´ e (b) montre que D A est un temps d’arrˆ et.
Dans la suite, nous n’utiliserons pas le r´ esultat du Th´ eor` eme 3.2 mais seulement
des r´ esultats plus faibles que l’on peut obtenir sans hypoth` ese sur la filtration (F t ).
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En particulier, si T est un temps d’arrˆ et,
T n =
∞
∑
k=0
k + 1
2 n 1 {k2 −n
d´ efinit une suite de temps d’arrˆ et qui d´ ecroˆ ıt vers T .
D´ emonstration. On ´
ecrit
{S ≤ t} = {S ≤ t} ∩ {T ≤ t} ∈ F t
puisque {S ≤ t} est F T -mesurable. La deuxi` eme assertion en d´ ecoule puisque T n
est clairement F T -mesurable et T n ≥ T .
Nous terminons ce paragraphe avec un th´ eor` eme g´ en´ eral qui permet la construction de nombreux temps d’arrˆ et.
Th´ eor` eme 3.2. On suppose que la filtration (F t ) v´ erifie les conditions habituelles
(elle est compl` ete et continue `
a droite). Soit A ⊂ Ω × R + un ensemble progressif
(i.e. tel que le processus X t (ω) = 1 A (ω,t) soit progressif) et soit D A le d´ ebut de A
d´ efini par
D A (ω) = inf{t ≥ 0 : (ω,t) ∈ A}
(avec inf ∅ = ∞).
Alors D A est un temps d’arrˆ et.
La preuve de ce th´ eor` eme repose sur le r´ esultat difficile de th´ eorie de la mesure
qui suit.
Th´ eor` eme. Soit (Λ , G , Π ) un espace de probabilit´ e complet, au sens o` u la tribu
G contient tous les ensembles Π -n´ egligeables. Soit H ⊂ Λ × R + un ensemble
mesurable pour la tribu produit G ⊗ B(R + ). Alors la projection de H,
p(H) = {ω ∈ Λ : ∃t ≥ 0, (ω,t) ∈ H}
appartient `
a la tribu G .
(Pour une preuve voir par exemple le Chapitre III de [1].)
D´ emonstration du Th´ eor` eme 3.2. On applique le th´ eor` eme ci-dessus en fixant
t ≥ 0, en prenant (Λ , G , Π ) = (Ω , F t , P) et H = (Ω × [0,t[) ∩ A. La d´ efinition
d’un processus progressif montre que H est mesurable pour F t ⊗ B(R + ). En
cons´ equence,
p(H) = {ω ∈ Ω : ∃s < t, (ω, s) ∈ A} ∈ F t .
Or {D A < t} = p(H). On a donc obtenu {D A < t} ∈ F t et puisque la filtration est
continue `
a droite, la propri´ et´ e (b) montre que D A est un temps d’arrˆ et.
Dans la suite, nous n’utiliserons pas le r´ esultat du Th´ eor` eme 3.2 mais seulement
des r´ esultats plus faibles que l’on peut obtenir sans hypoth` ese sur la filtration (F t ).