3.2 Temps d’arrˆ et et tribus associ´ ees
37
(i) Si (S n ) est une suite d´ ecroissante stationnaire de temps d’arrˆ et (i.e. ∀ω,
∃N(ω): ∀n ≥ N(ω), S n (ω) = S(ω)) alors S = lim ↓ S n est aussi un temps d’arrˆ et,
et
F S =
n
F S n .
(j) Soit T un temps d’arrˆ et. Une fonction ω → Y (ω) d´ efinie sur l’ensemble
{T < ∞} et `
a valeurs dans un espace mesurable (E, E ) est F T -mesurable si
et seulement si, pour tout t ≥ 0, la restriction de Y `
a l’ensemble {T ≤ t} est
F t -mesurable.
Remarque. Dans la propri´ et´ e (j) nous utilisons la notion ´
evidente de G -mesurabilit´ e
pour une variable ω → Y (ω) d´ efinie seulement sur une partie G -mesurable de
l’espace Ω (G ´
etant une tribu sur Ω ). Cette notion interviendra de nouveau dans
le Th´ eor` eme 3.1 ci-dessous.
La preuve des propri´ et´ es pr´ ec´ edentes est facile. Nous laissons en exercice la
preuve des cinq premi` eres et d´ emontrons les cinq derni` eres.
(f) Si S ≤ T et A ∈ F S alors
A ∩ {T ≤ t} = (A ∩ {S ≤ t}) ∩ {T ≤ t} ∈ F t ,
d’o` u A ∈ F T . Le mˆ eme argument (utilisant cette fois la Proposition 3.2) donne
F S+ ⊂ F T + .
En g´ en´ eral,
{S ∧ T ≤ t} = {S ≤ t} ∪ {T ≤ t} ∈ F t ,
{S ∨ T ≤ t} = {S ≤ t} ∩ {T ≤ t} ∈ F t .
Il est imm´ ediat d’apr` es la premi` ere assertion de (f) que F S∧T ⊂ (F S ∩ F T ). De
plus, si A ∈ F S ∩ F T ,
A ∩ {S ∧ T ≤ t} = (A ∩ {S ≤ t}) ∪ (A ∩ {T ≤ t}) ∈ F t ,
d’o` u A ∈ F S∧T .
Ensuite, pour t ≥ 0,
{S ≤ T } ∩ {T ≤ t} = {S ≤ t} ∩ {T ≤ t} ∩ {S ∧ t ≤ T ∧ t} ∈ F t
{S ≤ T } ∩ {S ≤ t} = {S ∧ t ≤ T ∧ t} ∩ {S ≤ t} ∈ F t ,
car S ∧t et T ∧t sont F t -mesurables d’apr` es (b). Cela donne {S ≤ T } ∈ F S ∩ F T =
F S∧T . Ensuite, on ´
ecrit {S = T } = {S ≤ T } ∩ {T ≤ S}.
(g) Il suffit d’´ ecrire
{S ≤ t} =
n
{S n ≤ t} ∈ F t .
(h) On ´
ecrit
{S < t} =
n
{S n < t} ∈ F t .
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(i) Si (S n ) est une suite d´ ecroissante stationnaire de temps d’arrˆ et (i.e. ∀ω,
∃N(ω): ∀n ≥ N(ω), S n (ω) = S(ω)) alors S = lim ↓ S n est aussi un temps d’arrˆ et,
et
F S =
n
F S n .
(j) Soit T un temps d’arrˆ et. Une fonction ω → Y (ω) d´ efinie sur l’ensemble
{T < ∞} et `
a valeurs dans un espace mesurable (E, E ) est F T -mesurable si
et seulement si, pour tout t ≥ 0, la restriction de Y `
a l’ensemble {T ≤ t} est
F t -mesurable.
Remarque. Dans la propri´ et´ e (j) nous utilisons la notion ´
evidente de G -mesurabilit´ e
pour une variable ω → Y (ω) d´ efinie seulement sur une partie G -mesurable de
l’espace Ω (G ´
etant une tribu sur Ω ). Cette notion interviendra de nouveau dans
le Th´ eor` eme 3.1 ci-dessous.
La preuve des propri´ et´ es pr´ ec´ edentes est facile. Nous laissons en exercice la
preuve des cinq premi` eres et d´ emontrons les cinq derni` eres.
(f) Si S ≤ T et A ∈ F S alors
A ∩ {T ≤ t} = (A ∩ {S ≤ t}) ∩ {T ≤ t} ∈ F t ,
d’o` u A ∈ F T . Le mˆ eme argument (utilisant cette fois la Proposition 3.2) donne
F S+ ⊂ F T + .
En g´ en´ eral,
{S ∧ T ≤ t} = {S ≤ t} ∪ {T ≤ t} ∈ F t ,
{S ∨ T ≤ t} = {S ≤ t} ∩ {T ≤ t} ∈ F t .
Il est imm´ ediat d’apr` es la premi` ere assertion de (f) que F S∧T ⊂ (F S ∩ F T ). De
plus, si A ∈ F S ∩ F T ,
A ∩ {S ∧ T ≤ t} = (A ∩ {S ≤ t}) ∪ (A ∩ {T ≤ t}) ∈ F t ,
d’o` u A ∈ F S∧T .
Ensuite, pour t ≥ 0,
{S ≤ T } ∩ {T ≤ t} = {S ≤ t} ∩ {T ≤ t} ∩ {S ∧ t ≤ T ∧ t} ∈ F t
{S ≤ T } ∩ {S ≤ t} = {S ∧ t ≤ T ∧ t} ∩ {S ≤ t} ∈ F t ,
car S ∧t et T ∧t sont F t -mesurables d’apr` es (b). Cela donne {S ≤ T } ∈ F S ∩ F T =
F S∧T . Ensuite, on ´
ecrit {S = T } = {S ≤ T } ∩ {T ≤ S}.
(g) Il suffit d’´ ecrire
{S ≤ t} =
n
{S n ≤ t} ∈ F t .
(h) On ´
ecrit
{S < t} =
n
{S n < t} ∈ F t .