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3 Filtrations et martingales
Proposition 3.2. Notons G t = F t+ la filtration des limites `
a droite de F t . Alors,
pour tout temps d’arrˆ et T , on a
G T = {A ∈ F ∞ : ∀t > 0, A ∩ {T < t} ∈ F t }.
On notera
F T + := G T .
D´ emonstration. D’abord, si A ∈ G T , on a pour tout t ≥ 0, A ∩ {T ≤ t} ∈ G t . Donc
A ∩ {T < t} =
n≥1
A ∩ {T ≤ t −
1
n
}
∈ F t
puisque A ∩ {T ≤ t −
1
n } ∈ G t−1/n ⊂ F t , pour tout n ≥ 1.
Inversement, supposons A ∩ {T < t} ∈ F t pour tout t > 0. Alors, pour tout t ≥ 0,
et tout s > t,
A ∩ {T ≤ t} =
n≥1
A ∩ {T < t +
1
n
}
∈ F s
puisqu’on peut limiter l’intersection aux valeurs n ≥ n 0 , avec n 0 tel que t +
1
n 0
< s.
On obtient ainsi que A ∩ {T ≤ t} ∈ F t+ = G t et donc A ∈ G T .
Propri´ et´ es des temps d’arrˆ et et des tribus associ´ ees.
(a) Pour tout temps d’arrˆ et T , on a F T ⊂ F T + . Si la filtration (F t ) est continue
`
a droite, on a F T + = F T .
(b) Une fonction T : Ω → ¯
R + est un temps d’arrˆ et de la filtration (F t+ ) si et
seulement si, pour tout t ≥ 0, {T < t} ∈ F t . Cela ´
equivaut encore `
a dire que
T ∧ t est F t -mesurable, pour tout t.
(c) Si T = t est un temps d’arrˆ et constant, F T = F t , F T + = F t+ .
(d) Soit T un temps d’arrˆ et. Pour A ∈ F ∞ , posons
T
A (ω) =
T (ω) si ω ∈ A
+∞
si ω /
∈ A
Alors A ∈ F T si et seulement si T A est un temps d’arrˆ et.
(e) Soit T un temps d’arrˆ et. Alors T est F T -mesurable.
(g) Si (S n ) est une suite croissante de temps d’arrˆ et, alors S = lim ↑ S n est aussi
un temps d’arrˆ et.
(h) Si (S n ) est une suite d´ ecroissante de temps d’arrˆ et, alors S = lim ↓ S n est un
temps d’arrˆ et de la filtration (F t+ ), et
F S+ =
n
F S n + .
(f) Soient S, T deux temps d’arrêt. Si S ≤ T , alors F S ⊂ F T et F S+ ⊂ F T + . En
général, S ∨ T et S ∧ T sont deux temps d’arrêt et F S ∧ T =F S ∩F T . De plus,
{S ≤ T } ∈ F S ∧ T , {S=T } ∈ F S ∧ T .