3.2 Temps d’arrˆ et et tribus associ´ ees
35
D´ emonstration. Fixons t > 0. Pour tout entier n ≥ 1 et pour tout s ∈ [0,t], d´ efinissons
une variable al´ eatoire X n
s en posant
X
n
s = X kt/n si s ∈ [(k − 1)t/n, kt/n[, k ∈ {1, . . . , n},
et X n
t = X t . La continuit´ e `
a droite des trajectoires assure que, pour tous s ∈ [0,t] et
ω ∈ Ω ,
X s (ω) = lim
n→∞
X
n
s (ω).
Par ailleurs, pour tout bor´ elien A de E,
{(ω, s) ∈ Ω × [0,t] : X
n
s (ω) ∈ A} = ({X t ∈ A} × {t})
n
k=1
{X kt/n ∈ A} × [
(k − 1)t
n
,
kt
n
[
qui est clairement dans la tribu F t ⊗ B([0,t]). Donc, pour tout n ≥ 1, l’application
(ω, s) → X n
s (ω), d´ efinie sur Ω × [0,t], est mesurable pour F t ⊗ B([0,t]). Une limite
simple de fonctions mesurables ´
etant mesurable, la mˆ eme propri´ et´ e de mesurabilit´ e
reste vraie pour l’application (ω, s) → X s (ω) d´ efinie sur Ω × [0,t]. On conclut que
le processus X est progressif.
Remarque. On peut remplacer continu `
a droite par continu `
a gauche dans l’´ enonc´ e
de la proposition. La preuve est exactement analogue.
Tribu progressive. La famille des parties A ∈ F ⊗ B(R + ) telles que le processus
X t (ω) = 1 A (ω,t) soit progressif forme une tribu sur Ω × R + , appel´ ee la tribu progressive. Il est alors facile de v´ erifier (exercice!) qu’un processus X est progressif si
et seulement si l’application (ω,t) → X t (ω) est mesurable sur Ω × R + muni de la
tribu progressive.
3.2 Temps d’arrˆ et et tribus associ´ ees
Dans ce paragraphe, nous g´ en´ eralisons les notions de temps d’arrˆ et et de tribu du
pass´ e avant un temps d’arrˆ et, qui ont d´ ej` a ´
et´ e vues dans un cadre particulier dans le
chapitre pr´ ec´ edent.
D´ efinition 3.4. Une variable al´ eatoire T : Ω −→ [0, ∞] est un temps d’arrˆ et de la
filtration (F t ) si, pour tout t ≥ 0, {T ≤ t} ∈ F t .
Dans la suite, sauf pr´ ecision contraire, “temps d’arrˆ et” voudra dire “temps d’arrˆ et
de la filtration (F t )” (nous rencontrerons d’autres filtrations). Remarquons que, si
T est un temps d’arrˆ et, {T = ∞} = (∪ n∈N {T ≤ n}) c est dans F ∞ .
On associe `
a un temps d’arrˆ et T la tribu du pass´ e avant T d´ efinie par
F T = {A ∈ F ∞ : ∀t ≥ 0, A ∩ {T ≤ t} ∈ F t }.
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D´ emonstration. Fixons t > 0. Pour tout entier n ≥ 1 et pour tout s ∈ [0,t], d´ efinissons
une variable al´ eatoire X n
s en posant
X
n
s = X kt/n si s ∈ [(k − 1)t/n, kt/n[, k ∈ {1, . . . , n},
et X n
t = X t . La continuit´ e `
a droite des trajectoires assure que, pour tous s ∈ [0,t] et
ω ∈ Ω ,
X s (ω) = lim
n→∞
X
n
s (ω).
Par ailleurs, pour tout bor´ elien A de E,
{(ω, s) ∈ Ω × [0,t] : X
n
s (ω) ∈ A} = ({X t ∈ A} × {t})
n
k=1
{X kt/n ∈ A} × [
(k − 1)t
n
,
kt
n
[
qui est clairement dans la tribu F t ⊗ B([0,t]). Donc, pour tout n ≥ 1, l’application
(ω, s) → X n
s (ω), d´ efinie sur Ω × [0,t], est mesurable pour F t ⊗ B([0,t]). Une limite
simple de fonctions mesurables ´
etant mesurable, la mˆ eme propri´ et´ e de mesurabilit´ e
reste vraie pour l’application (ω, s) → X s (ω) d´ efinie sur Ω × [0,t]. On conclut que
le processus X est progressif.
Remarque. On peut remplacer continu `
a droite par continu `
a gauche dans l’´ enonc´ e
de la proposition. La preuve est exactement analogue.
Tribu progressive. La famille des parties A ∈ F ⊗ B(R + ) telles que le processus
X t (ω) = 1 A (ω,t) soit progressif forme une tribu sur Ω × R + , appel´ ee la tribu progressive. Il est alors facile de v´ erifier (exercice!) qu’un processus X est progressif si
et seulement si l’application (ω,t) → X t (ω) est mesurable sur Ω × R + muni de la
tribu progressive.
3.2 Temps d’arrˆ et et tribus associ´ ees
Dans ce paragraphe, nous g´ en´ eralisons les notions de temps d’arrˆ et et de tribu du
pass´ e avant un temps d’arrˆ et, qui ont d´ ej` a ´
et´ e vues dans un cadre particulier dans le
chapitre pr´ ec´ edent.
D´ efinition 3.4. Une variable al´ eatoire T : Ω −→ [0, ∞] est un temps d’arrˆ et de la
filtration (F t ) si, pour tout t ≥ 0, {T ≤ t} ∈ F t .
Dans la suite, sauf pr´ ecision contraire, “temps d’arrˆ et” voudra dire “temps d’arrˆ et
de la filtration (F t )” (nous rencontrerons d’autres filtrations). Remarquons que, si
T est un temps d’arrˆ et, {T = ∞} = (∪ n∈N {T ≤ n}) c est dans F ∞ .
On associe `
a un temps d’arrˆ et T la tribu du pass´ e avant T d´ efinie par
F T = {A ∈ F ∞ : ∀t ≥ 0, A ∩ {T ≤ t} ∈ F t }.