34
3 Filtrations et martingales
La famille (F t+ ) 0≤t≤∞ (avec F ∞+ = F ∞ ) est aussi une filtration. On dit que la
filtration (F t ) est continue `
a droite si
F t+ = F t ,
∀t ≥ 0.
Soit (F t ) une filtration et soit N la classe des ensembles P-n´ egligeables de F ∞
(i.e. A ∈ N s’il existe A ∈ F ∞ tel que A ⊂ A et P(A ) = 0). La filtration est dite
compl` ete si N ⊂ F 0 (et donc N ⊂ F t pour tout t). Si (F t ) n’est pas compl` ete, on
peut la compl´ eter en posant F
t = F t ∨ N , pour tout t ∈ [0, ∞], de sorte que (F
t )
est une filtration compl` ete.
On dira qu’une filtration (F t ) satisfait les conditions habituelles si elle est `
a
la fois continue `
a droite et compl` ete. Partant d’une filtration quelconque (F t ) on
peut construire une filtration qui satisfait les conditions habituelles, simplement
en compl´ etant la filtration (F t+ ). C’est ce qu’on appelle aussi l’augmentation
habituelle de la filtration (F t ).
D´ efinition 3.2. Un processus X = (X t ) t≥0 `
a valeurs dans un espace mesurable E est
dit mesurable si l’application
(ω,t) → X t (ω)
d´ efinie sur Ω × R + muni de la tribu produit F ⊗ B(R + ) est mesurable.
Cette propri´ et´ e est plus forte que de dire que, pour tout t ≥ 0, X t est F -mesurable.
Cependant, si l’on suppose que E est un espace m´ etrique muni de sa tribu bor´ elienne
et que les trajectoires de X sont continues, ou seulement continues `
a droite, il est
facile de voir que les deux propri´ et´ es sont ´
equivalentes (approcher X par des processus “en escalier” qui sont mesurables).
Dans toute la suite de ce chapitre on suppose qu’on s’est fix´ e une filtration
(F t ) sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , P), et de nombreuses notions parmi celles
que nous allons introduire d´ ependent du choix de cette filtration.
D´ efinition 3.3. Un processus (X t ) t≥0 est dit adapt´ e si, pour tout t ≥ 0, X t est F t -
mesurable. Ce processus est dit progressif si, pour tout t ≥ 0, l’application
(ω, s) → X s (ω)
d´ efinie sur Ω × [0,t] est mesurable pour la tribu F t ⊗ B([0,t]).
Remarquons qu’un processus progressif est adapt´ e et mesurable (dire qu’un
processus est mesurable est ´
equivalent `
a dire que, pour tout t ≥ 0, l’application
(ω, s) → X s (ω) d´ efinie sur Ω × [0,t] est mesurable pour la tribu F ⊗ B([0,t])).
Proposition 3.1. Soit (X t ) t≥0 un processus `
a valeurs dans un espace m´ etrique
(E, d). Supposons que X est adapt´ e et `
a trajectoires continues `
a droite (i.e. pour
tout ω ∈ Ω , t → X t (ω) est continue `
a droite). Alors X est progressif.
3 Filtrations et martingales
La famille (F t+ ) 0≤t≤∞ (avec F ∞+ = F ∞ ) est aussi une filtration. On dit que la
filtration (F t ) est continue `
a droite si
F t+ = F t ,
∀t ≥ 0.
Soit (F t ) une filtration et soit N la classe des ensembles P-n´ egligeables de F ∞
(i.e. A ∈ N s’il existe A ∈ F ∞ tel que A ⊂ A et P(A ) = 0). La filtration est dite
compl` ete si N ⊂ F 0 (et donc N ⊂ F t pour tout t). Si (F t ) n’est pas compl` ete, on
peut la compl´ eter en posant F
t = F t ∨ N , pour tout t ∈ [0, ∞], de sorte que (F
t )
est une filtration compl` ete.
On dira qu’une filtration (F t ) satisfait les conditions habituelles si elle est `
a
la fois continue `
a droite et compl` ete. Partant d’une filtration quelconque (F t ) on
peut construire une filtration qui satisfait les conditions habituelles, simplement
en compl´ etant la filtration (F t+ ). C’est ce qu’on appelle aussi l’augmentation
habituelle de la filtration (F t ).
D´ efinition 3.2. Un processus X = (X t ) t≥0 `
a valeurs dans un espace mesurable E est
dit mesurable si l’application
(ω,t) → X t (ω)
d´ efinie sur Ω × R + muni de la tribu produit F ⊗ B(R + ) est mesurable.
Cette propri´ et´ e est plus forte que de dire que, pour tout t ≥ 0, X t est F -mesurable.
Cependant, si l’on suppose que E est un espace m´ etrique muni de sa tribu bor´ elienne
et que les trajectoires de X sont continues, ou seulement continues `
a droite, il est
facile de voir que les deux propri´ et´ es sont ´
equivalentes (approcher X par des processus “en escalier” qui sont mesurables).
Dans toute la suite de ce chapitre on suppose qu’on s’est fix´ e une filtration
(F t ) sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , P), et de nombreuses notions parmi celles
que nous allons introduire d´ ependent du choix de cette filtration.
D´ efinition 3.3. Un processus (X t ) t≥0 est dit adapt´ e si, pour tout t ≥ 0, X t est F t -
mesurable. Ce processus est dit progressif si, pour tout t ≥ 0, l’application
(ω, s) → X s (ω)
d´ efinie sur Ω × [0,t] est mesurable pour la tribu F t ⊗ B([0,t]).
Remarquons qu’un processus progressif est adapt´ e et mesurable (dire qu’un
processus est mesurable est ´
equivalent `
a dire que, pour tout t ≥ 0, l’application
(ω, s) → X s (ω) d´ efinie sur Ω × [0,t] est mesurable pour la tribu F ⊗ B([0,t])).
Proposition 3.1. Soit (X t ) t≥0 un processus `
a valeurs dans un espace m´ etrique
(E, d). Supposons que X est adapt´ e et `
a trajectoires continues `
a droite (i.e. pour
tout ω ∈ Ω , t → X t (ω) est continue `
a droite). Alors X est progressif.