J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_3,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 3
Filtrations et martingales
R´ esum´ e Dans ce chapitre, nous introduisons les rudiments de la th´ eorie g´ en´ erale
des processus sur un espace de probabilit´ e muni d’une filtration. Cela nous am` ene `
a
g´ en´ eraliser plusieurs notions introduites dans le chapitre pr´ ec´ edent dans le cadre du
mouvement brownien. Dans un second temps, nous d´ eveloppons la th´ eorie des martingales `
a temps continu et nous ´
etablissons en particulier les r´ esultats de r´ egularit´ e
des trajectoires, ainsi que plusieurs formes des th´ eor` emes d’arrˆ et pour les martingales et les surmartingales.
3.1 Filtrations et processus
D´ efinition 3.1. Soit (Ω , F , P) un espace de probabilit´ e. Une filtration sur cet espace
est une famille croissante (F t ) 0≤t≤∞ , index´ ee par [0, ∞], de sous-tribus de F .
On a alors, pour tous 0 ≤ s < t,
F 0 ⊂ F s ⊂ F t ⊂ F ∞ ⊂ F .
On dira parfois que (Ω , F , (F t ), P) est un espace de probabilit´ e filtr´ e.
Exemple. Si B est un mouvement brownien, on peut prendre
F t = σ (B s , 0 ≤ s ≤ t), F ∞ = σ (B s , s ≥ 0).
Plus g´ en´ eralement, si X = (X t ,t ≥ 0) est un processus index´ e par R + , la filtration
canonique de X est d´ efinie par F t = σ (X s , s ≤ t) et F ∞ = σ (X s , s ≥ 0). Cette filtration canonique sera souvent compl´ et´ ee, comme nous le d´ efinirons plus loin.
Soit (F t ) 0≤t≤∞ une filtration sur (Ω , F , P). On pose pour tout t ≥ 0
F t+ =
s>t
F s .
33
Dans ce chapitre, les processus sont indexés par R + .
Math¯matiques et Applications
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_3,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 3
Filtrations et martingales
R´ esum´ e Dans ce chapitre, nous introduisons les rudiments de la th´ eorie g´ en´ erale
des processus sur un espace de probabilit´ e muni d’une filtration. Cela nous am` ene `
a
g´ en´ eraliser plusieurs notions introduites dans le chapitre pr´ ec´ edent dans le cadre du
mouvement brownien. Dans un second temps, nous d´ eveloppons la th´ eorie des martingales `
a temps continu et nous ´
etablissons en particulier les r´ esultats de r´ egularit´ e
des trajectoires, ainsi que plusieurs formes des th´ eor` emes d’arrˆ et pour les martingales et les surmartingales.
3.1 Filtrations et processus
D´ efinition 3.1. Soit (Ω , F , P) un espace de probabilit´ e. Une filtration sur cet espace
est une famille croissante (F t ) 0≤t≤∞ , index´ ee par [0, ∞], de sous-tribus de F .
On a alors, pour tous 0 ≤ s < t,
F 0 ⊂ F s ⊂ F t ⊂ F ∞ ⊂ F .
On dira parfois que (Ω , F , (F t ), P) est un espace de probabilit´ e filtr´ e.
Exemple. Si B est un mouvement brownien, on peut prendre
F t = σ (B s , 0 ≤ s ≤ t), F ∞ = σ (B s , s ≥ 0).
Plus g´ en´ eralement, si X = (X t ,t ≥ 0) est un processus index´ e par R + , la filtration
canonique de X est d´ efinie par F t = σ (X s , s ≤ t) et F ∞ = σ (X s , s ≥ 0). Cette filtration canonique sera souvent compl´ et´ ee, comme nous le d´ efinirons plus loin.
Soit (F t ) 0≤t≤∞ une filtration sur (Ω , F , P). On pose pour tout t ≥ 0
F t+ =
s>t
F s .
33
Dans ce chapitre, les processus sont indexés par R + .
Math¯matiques et Applications