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2 Exercices
Exercice 2.7. (Retournement du temps) On pose B
t = B 1 − B 1−t pour tout t ∈ [0, 1].
Montrer que les deux processus (B t ) t∈[0,1] et (B
t ) t∈[0,1] ont mˆ eme loi (comme dans
la d´ efinition de la mesure de Wiener ces lois sont des mesures de probabilit´ e sur
l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans R).
Exercice 2.8. (Loi de l’arcsinus) On pose T := inf{t ≥ 0 : B t = S 1 }.
1. Montrer que T < 1 p.s. (on pourra utiliser l’exercice pr´ ec´ edent) puis que T n’est
pas un temps d’arrˆ et.
2. V´ erifier que les trois variables al´ eatoires S t , S t − B t et |B t | ont mˆ eme loi.
3. Montrer que T suit la loi dite de l’arcsinus qui a pour densit´ e
g(t) =
1
π
t(1 − t)
1 ]0,1[ (t).
4. Montrer que les r´ esultats des questions 1. et 3. restent vrais si on remplace T par
L := sup{t ≤ 1 : B t = 0}.
Exercice 2.9. (Loi du logarithme it´ er´ e) Le but de l’exercice est de montrer la propri´ et´ e suivante:
lim sup
t→∞
B t
√
2t log logt
= 1 p.s.
On pose h(t) =
√
2t log logt.
1. Montrer que, pour tout t > 0, P(S t > u
√
t) ∼
e −u 2 /2
u
√
2π
, quand u tend vers +∞.
2. On se donne deux r´ eels r et c tels que 1 < r < c 2 . Etudier le comportement des
probabilit´ es P(S r n > c h(r n−1 )) quand n → ∞ et en d´ eduire que p.s.
lim sup
t→∞
B t
√
2t log logt
≤ 1.
3. Montrer qu’il existe p.s. une infinit´ e de valeurs de n telles que
B r n − B r n−1 ≥
r − 1
r
h(r
n ).
En d´ eduire le r´ esultat annonc´ e.
4. Que vaut la limite lim inf
t→∞
B t
√
2t log logt
?