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2 Le mouvement brownien
= P[T a ≤ t, −B
(T a )
t−T a
≤ b − a]
= P[T a ≤ t, B t ≥ 2a − b]
= P[B t ≥ 2a − b]
parce que l’´ ev´ enement {B t ≥ 2a − b} est p.s. contenu dans {T a ≤ t}.
Pour la deuxi` eme assertion on observe que
P[S t ≥ a] = P[S t ≥ a, B t ≥ a] + P[S t ≥ a, B t ≤ a] = 2P[B t ≥ a] = P[|B t ] ≥ a],
d’o` u le r´ esultat voulu.
On d´ eduit imm´ ediatement du th´ eor` eme pr´ ec´ edent que la loi du couple (S t , B t ) a
pour densit´ e
g(a, b) =
2(2a − b)
√
2πt 3
exp
−
(2a − b) 2
2t
1 {a>0,b
a 2
B 2
1
et a donc pour densit´ e
f (t) =
a
√
2πt 3
exp
−
a 2
2t
1 {t>0} .
D´ emonstration. On ´
ecrit, en utilisant le Th´ eor` eme 2.4 dans la deuxi` eme ´
egalit´ e,
P[T a ≤ t] = P[S t ≥ a] = P[|B t | ≥ a] = P[B
2
t ≥ a
2 ] = P[tB
2
1 ≥ a
2 ] = P[
a 2
B 2
1
≤ t].
Ensuite, puisque B 1 suit une loi N (0, 1) on calcule facilement la densit´ e de a 2 /B 2
1 .
G´ en´ eralisations. Soit Z une variable al´ eatoire r´ eelle. Un processus (X t ) t≥0 est appel´ e
mouvement brownien (r´ eel) issu de Z si on peut ´
ecrire X t = Z + B t o` u B est un
mouvement brownien issu de 0 et ind´ ependant de Z.
Un processus B t = (B 1
t , . . . , B d
t ) `
a valeurs dans R d est un mouvement brownien
en dimension d issu de 0 si ses composantes B 1 , . . . , B d sont des mouvements browniens r´ eels issus de 0 ind´ ependants. On v´ erifie facilement que si Φ est une isom´ etrie
vectorielle de R d , le processus (Φ(B t )) t≥0 est encore un mouvement brownien en
dimension d.
Enfin, si Z est une variable al´ eatoire `
a valeurs dans R d et X t = (X 1
t , . . . , X d
t ) un
processus `
a valeurs dans R d , on dit que X est un mouvement brownien en dimension
d issu de Z si on peut ´
ecrire X t = Z + B t o` u B est un mouvement brownien en
dimension d issu de 0 et ind´ ependant de Z.
La plupart des r´ esultats qui pr´ ec` edent peuvent ˆ
etre ´
etendus au mouvement brownien en dimension d. En particulier, la propri´ et´ e de Markov forte reste vraie, avec
exactement la mˆ eme d´ emonstration.
2 Le mouvement brownien
= P[T a ≤ t, −B
(T a )
t−T a
≤ b − a]
= P[T a ≤ t, B t ≥ 2a − b]
= P[B t ≥ 2a − b]
parce que l’´ ev´ enement {B t ≥ 2a − b} est p.s. contenu dans {T a ≤ t}.
Pour la deuxi` eme assertion on observe que
P[S t ≥ a] = P[S t ≥ a, B t ≥ a] + P[S t ≥ a, B t ≤ a] = 2P[B t ≥ a] = P[|B t ] ≥ a],
d’o` u le r´ esultat voulu.
On d´ eduit imm´ ediatement du th´ eor` eme pr´ ec´ edent que la loi du couple (S t , B t ) a
pour densit´ e
g(a, b) =
2(2a − b)
√
2πt 3
exp
−
(2a − b) 2
2t
1 {a>0,b
a 2
B 2
1
et a donc pour densit´ e
f (t) =
a
√
2πt 3
exp
−
a 2
2t
1 {t>0} .
D´ emonstration. On ´
ecrit, en utilisant le Th´ eor` eme 2.4 dans la deuxi` eme ´
egalit´ e,
P[T a ≤ t] = P[S t ≥ a] = P[|B t | ≥ a] = P[B
2
t ≥ a
2 ] = P[tB
2
1 ≥ a
2 ] = P[
a 2
B 2
1
≤ t].
Ensuite, puisque B 1 suit une loi N (0, 1) on calcule facilement la densit´ e de a 2 /B 2
1 .
G´ en´ eralisations. Soit Z une variable al´ eatoire r´ eelle. Un processus (X t ) t≥0 est appel´ e
mouvement brownien (r´ eel) issu de Z si on peut ´
ecrire X t = Z + B t o` u B est un
mouvement brownien issu de 0 et ind´ ependant de Z.
Un processus B t = (B 1
t , . . . , B d
t ) `
a valeurs dans R d est un mouvement brownien
en dimension d issu de 0 si ses composantes B 1 , . . . , B d sont des mouvements browniens r´ eels issus de 0 ind´ ependants. On v´ erifie facilement que si Φ est une isom´ etrie
vectorielle de R d , le processus (Φ(B t )) t≥0 est encore un mouvement brownien en
dimension d.
Enfin, si Z est une variable al´ eatoire `
a valeurs dans R d et X t = (X 1
t , . . . , X d
t ) un
processus `
a valeurs dans R d , on dit que X est un mouvement brownien en dimension
d issu de Z si on peut ´
ecrire X t = Z + B t o` u B est un mouvement brownien en
dimension d issu de 0 et ind´ ependant de Z.
La plupart des r´ esultats qui pr´ ec` edent peuvent ˆ
etre ´
etendus au mouvement brownien en dimension d. En particulier, la propri´ et´ e de Markov forte reste vraie, avec
exactement la mˆ eme d´ emonstration.