28
2 Le mouvement brownien
B
(T )
t
= 1 {T <∞} (B T +t − B T )
Alors, sous la probabilit´ e conditionnelle P(· | T < ∞), le processus (B
(T )
t ) t≥0 est un
mouvement brownien ind´ ependant de F T .
D´ emonstration. Nous ´
etablissons d’abord le th´ eor` eme dans le cas o` u T < ∞ p.s.
Pour cela, nous allons montrer que, si A ∈ F T , 0 ≤ t 1 < · · · < t p et F est une fonction
continue born´ ee de R p dans R + , on a
E[1 A F(B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p )] = P[A] E[F(B t 1 , . . . , B t p )].
(2.1)
Cela suffit pour ´
etablir les diff´ erentes assertions du th´ eor` eme : le cas A = Ω montre
que B (T ) est un mouvement brownien (remarquer que les trajectoires de B (T ) sont
continues) et d’autre part (2.1) entraˆ ıne que pour tout choix de 0 ≤ t 1 < · · · < t p , le
vecteur (B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p ) est ind´ ependant de F T , d’o` u il d´ ecoule par un argument de
classe monotone (Appendice A1) que B (T ) est ind´ ependant de F T .
Pour tout entier n ≥ 1, notons [T ] n le plus petit r´ eel de la forme k2 −n sup´ erieur ou
´
egal `
a T , avec [T ] n = ∞ si T = ∞ (il est facile de voir que [T ] n est un temps d’arrˆ et,
mais nous n’aurons pas besoin de cela). Pour montrer (2.1), on observe d’abord que
p.s.
F(B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p ) = lim
n→∞
F(B
([T ] n )
t 1
, . . . , B
([T ] n )
t p
),
d’o` u par convergence domin´ ee,
E[1 A F(B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p )]
= lim
n→∞
E[1 A F(B
([T ] n )
t 1
, . . . , B
([T ] n )
t p
)]
= lim
n→∞
∞
∑
k=0
E[1 A 1 {(k−1)2 −n
egalit´ e on a distingu´ e les valeurs possibles de [T ] n . Pour A ∈ F T ,
l’´ ev´ enement A ∩ {(k − 1)2 −n < T ≤ k2 −n } = (A ∩ {T ≤ k2 −n }) ∩ {T ≤ (k − 1)2 −n } c
est F k2 −n -mesurable. D’apr` es la propri´ et´ e de Markov simple (Proposition 2.3 (iii)),
on a donc
E[1 A∩{(k−1)2 −n
−n < T ≤ k2
−n }] E[F(B t 1 , . . . , B t p )],
et il ne reste plus qu’` a sommer sur k pour arriver au r´ esultat souhait´ e.
Finalement, lorsque P[T = ∞] > 0, les mˆ emes arguments conduisent `
a
E[1 A∩{T <∞} F(B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p )] = P[A ∩ {T < ∞}] E[F(B t 1 , . . . , B t p )]
et le r´ esultat recherch´ e en d´ ecoule `
a nouveau.
2 Le mouvement brownien
B
(T )
t
= 1 {T <∞} (B T +t − B T )
Alors, sous la probabilit´ e conditionnelle P(· | T < ∞), le processus (B
(T )
t ) t≥0 est un
mouvement brownien ind´ ependant de F T .
D´ emonstration. Nous ´
etablissons d’abord le th´ eor` eme dans le cas o` u T < ∞ p.s.
Pour cela, nous allons montrer que, si A ∈ F T , 0 ≤ t 1 < · · · < t p et F est une fonction
continue born´ ee de R p dans R + , on a
E[1 A F(B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p )] = P[A] E[F(B t 1 , . . . , B t p )].
(2.1)
Cela suffit pour ´
etablir les diff´ erentes assertions du th´ eor` eme : le cas A = Ω montre
que B (T ) est un mouvement brownien (remarquer que les trajectoires de B (T ) sont
continues) et d’autre part (2.1) entraˆ ıne que pour tout choix de 0 ≤ t 1 < · · · < t p , le
vecteur (B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p ) est ind´ ependant de F T , d’o` u il d´ ecoule par un argument de
classe monotone (Appendice A1) que B (T ) est ind´ ependant de F T .
Pour tout entier n ≥ 1, notons [T ] n le plus petit r´ eel de la forme k2 −n sup´ erieur ou
´
egal `
a T , avec [T ] n = ∞ si T = ∞ (il est facile de voir que [T ] n est un temps d’arrˆ et,
mais nous n’aurons pas besoin de cela). Pour montrer (2.1), on observe d’abord que
p.s.
F(B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p ) = lim
n→∞
F(B
([T ] n )
t 1
, . . . , B
([T ] n )
t p
),
d’o` u par convergence domin´ ee,
E[1 A F(B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p )]
= lim
n→∞
E[1 A F(B
([T ] n )
t 1
, . . . , B
([T ] n )
t p
)]
= lim
n→∞
∞
∑
k=0
E[1 A 1 {(k−1)2 −n
egalit´ e on a distingu´ e les valeurs possibles de [T ] n . Pour A ∈ F T ,
l’´ ev´ enement A ∩ {(k − 1)2 −n < T ≤ k2 −n } = (A ∩ {T ≤ k2 −n }) ∩ {T ≤ (k − 1)2 −n } c
est F k2 −n -mesurable. D’apr` es la propri´ et´ e de Markov simple (Proposition 2.3 (iii)),
on a donc
E[1 A∩{(k−1)2 −n
−n < T ≤ k2
−n }] E[F(B t 1 , . . . , B t p )],
et il ne reste plus qu’` a sommer sur k pour arriver au r´ esultat souhait´ e.
Finalement, lorsque P[T = ∞] > 0, les mˆ emes arguments conduisent `
a
E[1 A∩{T <∞} F(B
(T )
t 1 , . . . , B
(T )
t p )] = P[A ∩ {T < ∞}] E[F(B t 1 , . . . , B t p )]
et le r´ esultat recherch´ e en d´ ecoule `
a nouveau.