2.4 La propri´ et´ e de Markov forte
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2.4 La propri´ et´ e de Markov forte
Notre but est d’´ etendre la propri´ et´ e de Markov simple (Proposition 2.3 (iii)) au cas
o` u l’instant d´ eterministe s est remplac´ e par un temps al´ eatoire T . Nous devons
d’abord pr´ eciser la classe des temps al´ eatoires admissibles. On garde la notation
F t introduite dans le Th´ eor` eme 2.2 et on note aussi F ∞ = σ (B s , s ≥ 0).
D´ efinition 2.6. Une variable al´ eatoire T `
a valeurs dans [0, ∞] est un temps d’arrˆ et si,
pour tout t ≥ 0, {T ≤ t} ∈ F t .
On peut remarquer que si T est un temps d’arrˆ et on a aussi pour tout t > 0,
{T < t} =
q∈[0,t[∩Q
{T ≤ q} ∈ F t .
D´ efinition 2.7. Soit T un temps d’arrˆ et. La tribu du pass´ e avant T est
F T = {A ∈ F ∞ : ∀t ≥ 0, A ∩ {T ≤ t} ∈ F t }.
On v´ erifie facilement que F T est bien une tribu et que la variable al´ eatoire T est
F T -mesurable (exercice). De plus, si on d´ efinit 1 {T <∞} B T en posant
1 {T <∞} B T (ω) =
B T (ω) (ω) si T (ω) < ∞ ,
0
si T (ω) = ∞ ,
alors 1 {T <∞} B T est aussi une variable al´ eatoire F T -mesurable. Pour le voir, on remarque que
1 {T <∞} B T = lim
n→∞
∞
∑
i=0
1 {i2 −n ≤T <(i+1)2 −n } B i2 −n = lim
n→∞
∞
∑
i=0
1 {T <(i+1)2 −n } 1 {i2 −n ≤T } B i2 −n .
On observe ensuite que, pour tout s ≥ 0, B s 1 {s≤T } est F T -mesurable, parce que si
A est un bor´ elien de R ne contenant pas 0 (le cas 0 ∈ A est trait´ e par passage au
compl´ ementaire) on a
{B s 1 {s≤T } ∈ A} ∩ {T ≤ t} =
∅
si t < s
{B s ∈ A} ∩ {s ≤ T ≤ t} si t ≥ s
qui est F t -mesurable dans les deux cas (´ ecrire {s ≤ T ≤ t} = {T ≤ t} ∩ {T < s} c ).
Th´ eor` eme 2.3 (Propri´ et´ e de Markov forte). Soit T un temps d’arrˆ et. On suppose
que P(T < ∞) > 0 et on pose, pour tout t ≥ 0,
Exemples. Les temps T = t (temps constant) ou T = T a sont des temps d’arrêt (pour
le deuxième cas remarquer que {T a ≤ t} = { inf 0 ≤ s ≤ t |B s − a|=0}). En revanche,
T = sup {s ≤ 1 : B s = 0} n’est pas un temps d’arrêt (cela découlera par l’absurde
de la propriété de Markov forte ci-dessous et de la Corollaire 2.3). Si T est un temps
d’arrêt, pour tout t ≥ 0, T +t est aussi un temps d’arrêt (exercice).
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2.4 La propri´ et´ e de Markov forte
Notre but est d’´ etendre la propri´ et´ e de Markov simple (Proposition 2.3 (iii)) au cas
o` u l’instant d´ eterministe s est remplac´ e par un temps al´ eatoire T . Nous devons
d’abord pr´ eciser la classe des temps al´ eatoires admissibles. On garde la notation
F t introduite dans le Th´ eor` eme 2.2 et on note aussi F ∞ = σ (B s , s ≥ 0).
D´ efinition 2.6. Une variable al´ eatoire T `
a valeurs dans [0, ∞] est un temps d’arrˆ et si,
pour tout t ≥ 0, {T ≤ t} ∈ F t .
On peut remarquer que si T est un temps d’arrˆ et on a aussi pour tout t > 0,
{T < t} =
q∈[0,t[∩Q
{T ≤ q} ∈ F t .
D´ efinition 2.7. Soit T un temps d’arrˆ et. La tribu du pass´ e avant T est
F T = {A ∈ F ∞ : ∀t ≥ 0, A ∩ {T ≤ t} ∈ F t }.
On v´ erifie facilement que F T est bien une tribu et que la variable al´ eatoire T est
F T -mesurable (exercice). De plus, si on d´ efinit 1 {T <∞} B T en posant
1 {T <∞} B T (ω) =
B T (ω) (ω) si T (ω) < ∞ ,
0
si T (ω) = ∞ ,
alors 1 {T <∞} B T est aussi une variable al´ eatoire F T -mesurable. Pour le voir, on remarque que
1 {T <∞} B T = lim
n→∞
∞
∑
i=0
1 {i2 −n ≤T <(i+1)2 −n } B i2 −n = lim
n→∞
∞
∑
i=0
1 {T <(i+1)2 −n } 1 {i2 −n ≤T } B i2 −n .
On observe ensuite que, pour tout s ≥ 0, B s 1 {s≤T } est F T -mesurable, parce que si
A est un bor´ elien de R ne contenant pas 0 (le cas 0 ∈ A est trait´ e par passage au
compl´ ementaire) on a
{B s 1 {s≤T } ∈ A} ∩ {T ≤ t} =
∅
si t < s
{B s ∈ A} ∩ {s ≤ T ≤ t} si t ≥ s
qui est F t -mesurable dans les deux cas (´ ecrire {s ≤ T ≤ t} = {T ≤ t} ∩ {T < s} c ).
Th´ eor` eme 2.3 (Propri´ et´ e de Markov forte). Soit T un temps d’arrˆ et. On suppose
que P(T < ∞) > 0 et on pose, pour tout t ≥ 0,
Exemples. Les temps T = t (temps constant) ou T = T a sont des temps d’arrêt (pour
le deuxième cas remarquer que {T a ≤ t} = { inf 0 ≤ s ≤ t |B s − a|=0}). En revanche,
T = sup {s ≤ 1 : B s = 0} n’est pas un temps d’arrêt (cela découlera par l’absurde
de la propriété de Markov forte ci-dessous et de la Corollaire 2.3). Si T est un temps
d’arrêt, pour tout t ≥ 0, T +t est aussi un temps d’arrêt (exercice).