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2 Le mouvement brownien
et on remarque en appliquant la propri´ et´ e d’invariance d’´ echelle (voir la Proposition
2.3(ii) et la notation de cette proposition) avec λ = 1/δ que
P
sup
0≤s≤1
B s > δ
= P
sup
0≤s≤1/δ 2
B
1/δ
s
> 1
= P
sup
0≤s≤1/δ 2
B s > 1
.
Pour la deuxi` eme ´
egalit´ e, on utilise les remarques suivant la d´ efinition de la mesure
de Wiener, montrant que la probabilit´ e de l’´ ev´ enement {sup 0≤s≤1/δ 2 B s > 1} est la
mˆ eme pour n’importe quel mouvement brownien B. En faisant tendre δ vers 0, on
trouve
P
sup
s≥0
B s > 1
= lim
δ ↓0
↑ P
sup
0≤s≤1/δ 2
B s > 1
= 1.
Ensuite, un nouvel argument de changement d’´ echelle montre que pour tout M > 0,
P
sup
s≥0
B s > M
= 1
et en utilisant le changement B → −B on a aussi
P
inf
s≥0
B s < −M
= 1.
Les derni` eres assertions du corollaire en d´ ecoulent facilement : pour la derni` ere, on
observe qu’une fonction continue f : R + −→ R ne peut visiter tous les r´ eels que si
lim sup t→+∞ f (t) = +∞ et lim inf t→+∞ f (t) = −∞.
En utilisant la propri´ et´ e de Markov simple, on d´ eduit facilement du corollaire
que p.s. la fonction t → B t n’est monotone sur aucun intervalle non-trivial.
Proposition 2.4. Soit 0 = t n
0 < t n
1 < · · · < t n
p n = t une suite de subdivisions de [0,t]
de pas tendant vers 0 (i.e. sup 1≤i≤p n (t n
i − t n
i−1 ) → 0). Alors,
lim
n→∞
p n
∑
i=1
(B t n
i
− B t n
i−1
)
2 = t,
dans L 2 .
D´ emonstration. C’est une cons´ equence presque imm´ ediate de la Proposition 1.5,
en ´
ecrivant B t n
i
− B t n
i−1
= G(]t n
i−1 ,t n
i ]), si G est la mesure gaussienne associ´ ee `
a B.
On d´ eduit facilement de la Proposition 2.4 et de la continuit´ e des trajectoires que
p.s. la fonction t → B t n’est `
a variation finie sur aucun intervalle non trivial (voir le
d´ ebut du Chapitre 4 pour des rappels sur les fonctions continues `
a variation finie).
En particulier, il n’est pas possible de d´ efinir “ω par ω” les int´ egrales de la forme
t
0 f (s)dB s comme des int´ egrales usuelles par rapport `
a une fonction `
a variation finie.
Ceci justifie les commentaires de la fin du paragraphe 2.1.
2 Le mouvement brownien
et on remarque en appliquant la propri´ et´ e d’invariance d’´ echelle (voir la Proposition
2.3(ii) et la notation de cette proposition) avec λ = 1/δ que
P
sup
0≤s≤1
B s > δ
= P
sup
0≤s≤1/δ 2
B
1/δ
s
> 1
= P
sup
0≤s≤1/δ 2
B s > 1
.
Pour la deuxi` eme ´
egalit´ e, on utilise les remarques suivant la d´ efinition de la mesure
de Wiener, montrant que la probabilit´ e de l’´ ev´ enement {sup 0≤s≤1/δ 2 B s > 1} est la
mˆ eme pour n’importe quel mouvement brownien B. En faisant tendre δ vers 0, on
trouve
P
sup
s≥0
B s > 1
= lim
δ ↓0
↑ P
sup
0≤s≤1/δ 2
B s > 1
= 1.
Ensuite, un nouvel argument de changement d’´ echelle montre que pour tout M > 0,
P
sup
s≥0
B s > M
= 1
et en utilisant le changement B → −B on a aussi
P
inf
s≥0
B s < −M
= 1.
Les derni` eres assertions du corollaire en d´ ecoulent facilement : pour la derni` ere, on
observe qu’une fonction continue f : R + −→ R ne peut visiter tous les r´ eels que si
lim sup t→+∞ f (t) = +∞ et lim inf t→+∞ f (t) = −∞.
En utilisant la propri´ et´ e de Markov simple, on d´ eduit facilement du corollaire
que p.s. la fonction t → B t n’est monotone sur aucun intervalle non-trivial.
Proposition 2.4. Soit 0 = t n
0 < t n
1 < · · · < t n
p n = t une suite de subdivisions de [0,t]
de pas tendant vers 0 (i.e. sup 1≤i≤p n (t n
i − t n
i−1 ) → 0). Alors,
lim
n→∞
p n
∑
i=1
(B t n
i
− B t n
i−1
)
2 = t,
dans L 2 .
D´ emonstration. C’est une cons´ equence presque imm´ ediate de la Proposition 1.5,
en ´
ecrivant B t n
i
− B t n
i−1
= G(]t n
i−1 ,t n
i ]), si G est la mesure gaussienne associ´ ee `
a B.
On d´ eduit facilement de la Proposition 2.4 et de la continuit´ e des trajectoires que
p.s. la fonction t → B t n’est `
a variation finie sur aucun intervalle non trivial (voir le
d´ ebut du Chapitre 4 pour des rappels sur les fonctions continues `
a variation finie).
En particulier, il n’est pas possible de d´ efinir “ω par ω” les int´ egrales de la forme
t
0 f (s)dB s comme des int´ egrales usuelles par rapport `
a une fonction `
a variation finie.
Ceci justifie les commentaires de la fin du paragraphe 2.1.