2.3 Comportement des trajectoires du mouvement brownien
25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
Fig. 2.1 Simulation d’une trajectoire de mouvement brownien sur l’intervalle de temps [0, 1]
Il s’agit d’une intersection d´ ecroissante, et il en d´ ecoule ais´ ement que l’´ ev´ enement
A est F 0+ -mesurable. D’autre part,
P(A) = lim
p→∞
↓ P
sup
0≤s≤ε p
B s > 0
,
et
P
sup
0≤s≤ε p
B s > 0
≥ P(B ε p > 0) =
1
2
,
ce qui montre que P(A) ≥ 1/2. D’apr` es le Th´ eor` eme 2.2 on a P(A) = 1, d’o` u
p.s. ∀ε > 0,
sup
0≤s≤ε
B s > 0.
L’assertion concernant inf 0≤s≤ε B s est obtenue en remplac ¸ant B par −B.
Ensuite, on ´
ecrit
1 = P
sup
0≤s≤1
B s > 0
= lim
δ ↓0
↑ P
sup
0≤s≤1
B s > δ
,
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0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
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−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
Fig. 2.1 Simulation d’une trajectoire de mouvement brownien sur l’intervalle de temps [0, 1]
Il s’agit d’une intersection d´ ecroissante, et il en d´ ecoule ais´ ement que l’´ ev´ enement
A est F 0+ -mesurable. D’autre part,
P(A) = lim
p→∞
↓ P
sup
0≤s≤ε p
B s > 0
,
et
P
sup
0≤s≤ε p
B s > 0
≥ P(B ε p > 0) =
1
2
,
ce qui montre que P(A) ≥ 1/2. D’apr` es le Th´ eor` eme 2.2 on a P(A) = 1, d’o` u
p.s. ∀ε > 0,
sup
0≤s≤ε
B s > 0.
L’assertion concernant inf 0≤s≤ε B s est obtenue en remplac ¸ant B par −B.
Ensuite, on ´
ecrit
1 = P
sup
0≤s≤1
B s > 0
= lim
δ ↓0
↑ P
sup
0≤s≤1
B s > δ
,