2.3 Comportement des trajectoires du mouvement brownien
23
W ({w; w(t 0 ) ∈ A 0 , w(t 1 ) ∈ A 1 , . . . , w(t n ) ∈ A n })
= P(B t 0 ∈ A 0 , B t 1 ∈ A 1 , . . . , B t n ∈ A n )
= 1 A 0 (0)
A 1 ×···×A n
dx 1 . . . dx n
(2π) n/2
t 1 (t 2 − t 1 ) . . . (t n − t n−1 )
exp
−
n
∑
i=1
(x i − x i−1 ) 2
2(t i − t i−1 )
,
o` u x 0 = 0 par convention.
Les valeurs ainsi obtenues pour W ({w; w(t 0 ) ∈ A 0 , w(t 1 ) ∈ A 1 , . . . , w(t n ) ∈ A n })
caract´ erisent la probabilit´ e W : en effet, la classe des ensembles de la forme
{w; w(t 0 ) ∈ A 0 , w(t 1 ) ∈ A 1 , . . . , w(t n ) ∈ A n } (les “cylindres”) est stable par intersection finie et engendre la tribu C , ce qui, par un argument standard de classe monotone (voir l’Appendice A1), suffit pour dire qu’une mesure de probabilit´ e sur C est
caract´ eris´ ee par ses valeurs sur cette classe. Une cons´ equence des consid´ erations
pr´ ec´ edentes est le fait que la construction de la mesure de Wiener ne d´ epend pas
du choix du mouvement brownien B : la loi du mouvement brownien est unique (et
bien d´ efinie!). Si B est un autre mouvement brownien, on aura pour tout A ∈ C ,
P((B
t ) t≥0 ∈ A) = W (A) = P((B t ) t≥0 ∈ A).
Remarquons que dans l’´ ecriture P((B t ) t≥0 ∈ A), il faut interpr´ eter (B t ) t≥0 comme
la “fonction continue al´ eatoire” t → B t (ω) qui est une variable al´ eatoire `
a valeurs
dans C(R + , R).
Nous utiliserons fr´ equemment la derni` ere propri´ et´ e sans plus de commentaires.
Voir par exemple la deuxi` eme partie de la preuve du Corollaire 2.3 ci-dessous.
Si l’on prend maintenant comme espace de probabilit´ e
Ω = C(R + , R), F = C , P(dw) = W (dw),
le processus, dit canonique,
X t (w) = w(t)
est un mouvement brownien (d’apr` es le Corollaire 2.1 et les formules ci-dessus).
C’est la construction canonique du mouvement brownien.
2.3 Comportement des trajectoires du mouvement brownien
Dans ce paragraphe, nous obtenons quelques informations sur l’allure des trajectoires du mouvement brownien. Nous fixons donc un mouvement brownien (B t ) t≥0
(issu de 0 comme c’est toujours le cas pour l’instant). Un ingr´ edient tr` es utile est le
r´ esultat suivant, connu sous le nom de loi du tout ou rien de Blumenthal.
Th´ eor` eme 2.2. Pour tout t ≥ 0, soit F t la tribu d´ efinie par
F t = σ (B s , s ≤ t),
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W ({w; w(t 0 ) ∈ A 0 , w(t 1 ) ∈ A 1 , . . . , w(t n ) ∈ A n })
= P(B t 0 ∈ A 0 , B t 1 ∈ A 1 , . . . , B t n ∈ A n )
= 1 A 0 (0)
A 1 ×···×A n
dx 1 . . . dx n
(2π) n/2
t 1 (t 2 − t 1 ) . . . (t n − t n−1 )
exp
−
n
∑
i=1
(x i − x i−1 ) 2
2(t i − t i−1 )
,
o` u x 0 = 0 par convention.
Les valeurs ainsi obtenues pour W ({w; w(t 0 ) ∈ A 0 , w(t 1 ) ∈ A 1 , . . . , w(t n ) ∈ A n })
caract´ erisent la probabilit´ e W : en effet, la classe des ensembles de la forme
{w; w(t 0 ) ∈ A 0 , w(t 1 ) ∈ A 1 , . . . , w(t n ) ∈ A n } (les “cylindres”) est stable par intersection finie et engendre la tribu C , ce qui, par un argument standard de classe monotone (voir l’Appendice A1), suffit pour dire qu’une mesure de probabilit´ e sur C est
caract´ eris´ ee par ses valeurs sur cette classe. Une cons´ equence des consid´ erations
pr´ ec´ edentes est le fait que la construction de la mesure de Wiener ne d´ epend pas
du choix du mouvement brownien B : la loi du mouvement brownien est unique (et
bien d´ efinie!). Si B est un autre mouvement brownien, on aura pour tout A ∈ C ,
P((B
t ) t≥0 ∈ A) = W (A) = P((B t ) t≥0 ∈ A).
Remarquons que dans l’´ ecriture P((B t ) t≥0 ∈ A), il faut interpr´ eter (B t ) t≥0 comme
la “fonction continue al´ eatoire” t → B t (ω) qui est une variable al´ eatoire `
a valeurs
dans C(R + , R).
Nous utiliserons fr´ equemment la derni` ere propri´ et´ e sans plus de commentaires.
Voir par exemple la deuxi` eme partie de la preuve du Corollaire 2.3 ci-dessous.
Si l’on prend maintenant comme espace de probabilit´ e
Ω = C(R + , R), F = C , P(dw) = W (dw),
le processus, dit canonique,
X t (w) = w(t)
est un mouvement brownien (d’apr` es le Corollaire 2.1 et les formules ci-dessus).
C’est la construction canonique du mouvement brownien.
2.3 Comportement des trajectoires du mouvement brownien
Dans ce paragraphe, nous obtenons quelques informations sur l’allure des trajectoires du mouvement brownien. Nous fixons donc un mouvement brownien (B t ) t≥0
(issu de 0 comme c’est toujours le cas pour l’instant). Un ingr´ edient tr` es utile est le
r´ esultat suivant, connu sous le nom de loi du tout ou rien de Blumenthal.
Th´ eor` eme 2.2. Pour tout t ≥ 0, soit F t la tribu d´ efinie par
F t = σ (B s , s ≤ t),