22
2 Le mouvement brownien
puisque 2 −p ≤ t − s. Cela termine la preuve du Lemme 2.1.
Nous appliquons maintenant le Th´ eor` eme 2.1 au pr´ e-mouvement brownien.
Corollaire 2.2. Soit B = (B t ) t≥0 un pr´ e-mouvement brownien. Le processus B a une
modification dont les trajectoires sont continues, et mˆ eme localement h¨ old´ eriennes
d’exposant
1
2 − δ pour tout δ ∈]0,
1
2 [.
D´ emonstration. Pour s < t, la variable B t − B s suit une loi N (0,t − s), et donc
B t − B s a mˆ eme loi que
√
t − s N, o` u N suit une loi N (0, 1). En cons´ equence, pour
tout q > 0,
E[|B t − B s |
q ] = (t − s)
q/2 E[|N|
q ] = C q (t − s)
q/2
avec C q = E[|N| q ] < ∞. D` es que q > 2, on peut appliquer le th´ eor` eme avec ε =
q
2 − 1. On trouve ainsi que B a une modification dont les trajectoires sont continues,
et mˆ eme localement h¨ old´ eriennes d’exposant α pour tout α < (q − 2)/(2q). En
choisissant q grand on trouve le r´ esultat souhait´ e.
D´ efinition 2.5. Un processus (B t ) t≥0 est un mouvement brownien (r´ eel, issu de 0)
si :
(i) (B t ) t≥0 est un pr´ e-mouvement brownien.
(ii) Les trajectoires de B, c’est-` a-dire les applications t → B t (ω) pour ω ∈ Ω ,
sont toutes continues.
L’existence du mouvement brownien d´ ecoule du corollaire pr´ ec´ edent. En effet la
modification obtenue dans ce corollaire est encore un pr´ e-mouvement brownien, et
ses trajectoires sont continues. Dans la suite on ne parlera plus de pr´ e-mouvement
brownien et on s’int´ eressera uniquement au mouvement brownien.
Il est important de remarquer que l’´ enonc´ e de la Proposition 2.3 reste vrai mot
pour mot si on remplace partout pr´ e-mouvement brownien par mouvement brownien. En effet, avec les notations de cette proposition, on v´ erifie imm´ ediatement que
les processus −B, B λ , B (s) ont des trajectoires continues si c’est le cas pour B.
Mesure de Wiener. Notons C(R + , R) l’espace des fonctions continues de R + dans
R. La donn´ ee d’un mouvement brownien B fournit donc une application
Ω −→ C(R + , R)
ω → (t → B t (ω))
et il est facile de v´ erifier que cette application est mesurable lorsque C(R + , R) est
muni de la plus petite tribu, not´ ee C , qui rende mesurables les applications coordonn´ ees w → w(t) (on montre ais´ ement que cette tribu co¨ ıncide avec la tribu
bor´ elienne pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact). La
mesure de Wiener, ou loi du mouvement brownien, est par d´ efinition la mesureimage de P(dω) par cette application. C’est donc une mesure de probabilit´ e sur
C(R + , R).
Si W (dw) d´ esigne la mesure de Wiener, le Corollaire 2.1 montre que, pour 0 =
t 0 < t 1 < · · · < t n , et A 0 , A 1 , . . . , A n ∈ B(R),
2 Le mouvement brownien
puisque 2 −p ≤ t − s. Cela termine la preuve du Lemme 2.1.
Nous appliquons maintenant le Th´ eor` eme 2.1 au pr´ e-mouvement brownien.
Corollaire 2.2. Soit B = (B t ) t≥0 un pr´ e-mouvement brownien. Le processus B a une
modification dont les trajectoires sont continues, et mˆ eme localement h¨ old´ eriennes
d’exposant
1
2 − δ pour tout δ ∈]0,
1
2 [.
D´ emonstration. Pour s < t, la variable B t − B s suit une loi N (0,t − s), et donc
B t − B s a mˆ eme loi que
√
t − s N, o` u N suit une loi N (0, 1). En cons´ equence, pour
tout q > 0,
E[|B t − B s |
q ] = (t − s)
q/2 E[|N|
q ] = C q (t − s)
q/2
avec C q = E[|N| q ] < ∞. D` es que q > 2, on peut appliquer le th´ eor` eme avec ε =
q
2 − 1. On trouve ainsi que B a une modification dont les trajectoires sont continues,
et mˆ eme localement h¨ old´ eriennes d’exposant α pour tout α < (q − 2)/(2q). En
choisissant q grand on trouve le r´ esultat souhait´ e.
D´ efinition 2.5. Un processus (B t ) t≥0 est un mouvement brownien (r´ eel, issu de 0)
si :
(i) (B t ) t≥0 est un pr´ e-mouvement brownien.
(ii) Les trajectoires de B, c’est-` a-dire les applications t → B t (ω) pour ω ∈ Ω ,
sont toutes continues.
L’existence du mouvement brownien d´ ecoule du corollaire pr´ ec´ edent. En effet la
modification obtenue dans ce corollaire est encore un pr´ e-mouvement brownien, et
ses trajectoires sont continues. Dans la suite on ne parlera plus de pr´ e-mouvement
brownien et on s’int´ eressera uniquement au mouvement brownien.
Il est important de remarquer que l’´ enonc´ e de la Proposition 2.3 reste vrai mot
pour mot si on remplace partout pr´ e-mouvement brownien par mouvement brownien. En effet, avec les notations de cette proposition, on v´ erifie imm´ ediatement que
les processus −B, B λ , B (s) ont des trajectoires continues si c’est le cas pour B.
Mesure de Wiener. Notons C(R + , R) l’espace des fonctions continues de R + dans
R. La donn´ ee d’un mouvement brownien B fournit donc une application
Ω −→ C(R + , R)
ω → (t → B t (ω))
et il est facile de v´ erifier que cette application est mesurable lorsque C(R + , R) est
muni de la plus petite tribu, not´ ee C , qui rende mesurables les applications coordonn´ ees w → w(t) (on montre ais´ ement que cette tribu co¨ ıncide avec la tribu
bor´ elienne pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact). La
mesure de Wiener, ou loi du mouvement brownien, est par d´ efinition la mesureimage de P(dω) par cette application. C’est donc une mesure de probabilit´ e sur
C(R + , R).
Si W (dw) d´ esigne la mesure de Wiener, le Corollaire 2.1 montre que, pour 0 =
t 0 < t 1 < · · · < t n , et A 0 , A 1 , . . . , A n ∈ B(R),