2.2 La continuit´ e des trajectoires
21
d(X s , X t ) ≤ C α (ω) |t − s|
α ,
o` u C α (ω) = 2(1 − 2 −α ) −1 K α (ω). En cons´ equence, sur l’ensemble {K α (ω) < ∞},
la fonction t → X t (ω) est h¨ old´ erienne sur D, donc uniform´ ement continue sur D.
Puisque (E, d) est complet, cette fonction a un unique prolongement continu `
a I =
[0, 1], et ce prolongement est lui aussi h¨ old´ erien d’exposant α. De mani` ere plus
pr´ ecise, on pose pour tout t ∈ [0, 1]
˜
X t (ω) =
lim
s→t, s∈D
X s (ω) si K α (ω) < ∞ ,
x 0
si K α (ω) = ∞ ,
o` u x 0 est un point de E fix´ e de mani` ere arbitraire.
D’apr` es les remarques pr´ ec´ edentes, le processus ˜
X a des trajectoires h¨ old´ eriennes
d’exposant α sur [0, 1]. Il reste `
a voir que ˜
X est une modification de X. Pour cela,
fixons t ∈ I. L’hypoth` ese du th´ eor` eme entraˆ ıne que
lim
s→t
X s = X t
au sens de la convergence en probabilit´ e. Comme par d´ efinition ˜
X t est aussi la limite
p.s. de X s quand s → t, s ∈ D, on conclut que X t = ˜
X t p.s.
D´ emonstration du Lemme 2.1. Fixons s,t ∈ D avec s < t. Soit p ≥ 1 le plus petit
entier tel que 2 −p ≤ t − s. Alors il est facile de voir qu’on peut trouver un entier
k ≥ 0 et deux entiers l, m ≥ 0 tels que
s = k2
−p − ε p+1 2
−p−1 − . . . − ε p+l 2
−p−l
t = k2
−p + ε
p 2
−p + ε
p+1 2
−p−1 + . . . + ε
p+m 2
−p−m ,
o` u ε i , ε
j = 0 ou 1. Notons
s i = k2 −p − ε p+1 2 −p−1 − . . . − ε p+i 2 −p−i
(pour 0 ≤ i ≤ l)
t j = k2 −p + ε
p 2 −p + ε
p+1 2 −p−1 + . . . + ε
p+ j 2 −p− j
(pour 0 ≤ j ≤ m).
Alors, en observant que s = s l ,t = t m et qu’on peut appliquer l’hypoth` ese du lemme
aux couples (s 0 ,t 0 ), (s i−1 , s i ) (pour 1 ≤ i ≤ l) et (t j−1 ,t j ) (pour 1 ≤ j ≤ m), on trouve
d( f (s), f (t)) = d( f (s l ), f (t m ))
≤ d( f (s 0 ), f (t 0 )) +
l
∑
i=1
d( f (s i−1 ), f (s i )) +
m
∑
j=1
d( f (t j−1 ), f (t j ))
≤ K 2
−pα +
l
∑
i=1
K 2
−(p+i)α +
m
∑
j=1
K 2
−(p+ j)α
≤ 2K (1 − 2
−α )
−1 2
−pα
≤ 2K (1 − 2
−α )
−1 (t − s)
α
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d(X s , X t ) ≤ C α (ω) |t − s|
α ,
o` u C α (ω) = 2(1 − 2 −α ) −1 K α (ω). En cons´ equence, sur l’ensemble {K α (ω) < ∞},
la fonction t → X t (ω) est h¨ old´ erienne sur D, donc uniform´ ement continue sur D.
Puisque (E, d) est complet, cette fonction a un unique prolongement continu `
a I =
[0, 1], et ce prolongement est lui aussi h¨ old´ erien d’exposant α. De mani` ere plus
pr´ ecise, on pose pour tout t ∈ [0, 1]
˜
X t (ω) =
lim
s→t, s∈D
X s (ω) si K α (ω) < ∞ ,
x 0
si K α (ω) = ∞ ,
o` u x 0 est un point de E fix´ e de mani` ere arbitraire.
D’apr` es les remarques pr´ ec´ edentes, le processus ˜
X a des trajectoires h¨ old´ eriennes
d’exposant α sur [0, 1]. Il reste `
a voir que ˜
X est une modification de X. Pour cela,
fixons t ∈ I. L’hypoth` ese du th´ eor` eme entraˆ ıne que
lim
s→t
X s = X t
au sens de la convergence en probabilit´ e. Comme par d´ efinition ˜
X t est aussi la limite
p.s. de X s quand s → t, s ∈ D, on conclut que X t = ˜
X t p.s.
D´ emonstration du Lemme 2.1. Fixons s,t ∈ D avec s < t. Soit p ≥ 1 le plus petit
entier tel que 2 −p ≤ t − s. Alors il est facile de voir qu’on peut trouver un entier
k ≥ 0 et deux entiers l, m ≥ 0 tels que
s = k2
−p − ε p+1 2
−p−1 − . . . − ε p+l 2
−p−l
t = k2
−p + ε
p 2
−p + ε
p+1 2
−p−1 + . . . + ε
p+m 2
−p−m ,
o` u ε i , ε
j = 0 ou 1. Notons
s i = k2 −p − ε p+1 2 −p−1 − . . . − ε p+i 2 −p−i
(pour 0 ≤ i ≤ l)
t j = k2 −p + ε
p 2 −p + ε
p+1 2 −p−1 + . . . + ε
p+ j 2 −p− j
(pour 0 ≤ j ≤ m).
Alors, en observant que s = s l ,t = t m et qu’on peut appliquer l’hypoth` ese du lemme
aux couples (s 0 ,t 0 ), (s i−1 , s i ) (pour 1 ≤ i ≤ l) et (t j−1 ,t j ) (pour 1 ≤ j ≤ m), on trouve
d( f (s), f (t)) = d( f (s l ), f (t m ))
≤ d( f (s 0 ), f (t 0 )) +
l
∑
i=1
d( f (s i−1 ), f (s i )) +
m
∑
j=1
d( f (t j−1 ), f (t j ))
≤ K 2
−pα +
l
∑
i=1
K 2
−(p+i)α +
m
∑
j=1
K 2
−(p+ j)α
≤ 2K (1 − 2
−α )
−1 2
−pα
≤ 2K (1 − 2
−α )
−1 (t − s)
α