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2 Le mouvement brownien
L’hypoth` ese du th´ eor` eme entraˆ ıne que, pour a > 0 et s,t ∈ I,
P[d(X s , X t ) ≥ a] ≤ a
−q E[d(X s , X t )
q ] ≤ C a
−q |t − s|
1+ε .
Fixons α ∈]0,
ε
q [ et appliquons cette in´ egalit´ e `
a s = (i − 1)2 −n , t = i2 −n (pour i ∈
{1, . . . , 2 n }) et a = 2 −nα :
P
d(X (i−1)2 −n , X i2 −n ) ≥ 2
−nα
≤ C 2
nqα 2
−(1+ε)n .
En sommant sur i on trouve
P
2 n
i=1
{d(X (i−1)2 −n , X i2 −n ) ≥ 2
−nα }
≤ 2
n ·C 2
nqα−(1+ε)n = C 2
−n(ε−qα) .
Par hypoth` ese, ε − qα > 0. En sommant maintenant sur n on a donc
∞
∑
n=1
P
2 n
i=1
{d(X (i−1)2 −n , X i2 −n ) ≥ 2
−nα }
< ∞,
et le lemme de Borel-Cantelli montre que
p.s. ∃n 0 (ω) : ∀n ≥ n 0 (ω), ∀i ∈ {1, . . . , 2
n }, d(X (i−1)2 −n , X i2 −n ) ≤ 2
−nα .
En cons´ equence, la constante K α (ω) d´ efinie par
K α (ω) = sup
n≥1
sup
1≤i≤2 n
d(X (i−1)2 −n , X i2 −n )
2 −nα
est finie p.s. (Pour n ≥ n 0 (ω), le terme entre parenth` eses est major´ e par 1, et d’autre
part, il n’y a qu’un nombre fini de termes avant n 0 (ω).)
A ce point nous utilisons un lemme d’analyse ´
el´ ementaire, dont la preuve est
report´ ee apr` es la fin de la preuve du Th´ eor` eme 2.1.
Lemme 2.1. Soit f une fonction d´ efinie sur [0, 1] `
a valeurs dans l’espace m´ etrique
(E, d). Supposons qu’il existe un r´ eel α > 0 et une constante K < ∞ tels que, pour
tout entier n ≥ 1 et tout i ∈ {1, 2, . . . , 2 n },
d( f ((i − 1)2
−n ), f (i2
−n )) ≤ K 2
−nα .
Alors on a, pour tous s,t ∈ D,
d( f (s), f (t)) ≤
2K
1 − 2 −α |t − s|
α
On d´ eduit imm´ ediatement du lemme et de la d´ efinition de K α (ω) que, sur
l’ensemble {K α (ω) < ∞} (qui est de probabilit´ e 1), on a, pour tous s,t ∈ D,