2.2 La continuit´ e des trajectoires
19
P(∀t ∈ T, X t = ˜
X t ) = 1.
(Cette formulation est l´ eg` erement abusive car l’´ ev´ enement {∀t ∈ T, X t = ˜
X t } n’est
pas forc´ ement mesurable.)
Si deux processus sont indistinguables, l’un est une modification de l’autre. La
notion d’indistinguabilit´ e est cependant (beaucoup) plus forte : deux processus indistinguables ont p.s. les mˆ emes trajectoires. Dans la suite on identifiera deux processus indistinguables. Une assertion de la forme “il existe un unique processus tel
que ...” doit toujours ˆ
etre comprise “` a indistinguabilit´ e pr` es”, mˆ eme si cela n’est pas
dit explicitement.
Si T = I est un intervalle de R, et si X et ˜
X sont deux processus dont les trajectoires sont p.s. continues, alors ˜
X est une modification de X si et seulement si X et
˜
X sont indistinguables. En effet, si ˜
X est une modification de X on a p.s. ∀t ∈ I ∩ Q,
X t = ˜
X t (on ´
ecarte une r´ eunion d´ enombrable d’ensembles de probabilit´ e nulle) d’o` u
p.s. ∀t ∈ I, X t = ˜
X t par continuit´ e. Le mˆ eme argument marche si on suppose seulement les trajectoires continues `
a droite, ou `
a gauche.
Th´ eor` eme 2.1 (lemme de Kolmogorov). Soit X = (X t ) t∈I un processus al´ eatoire
index´ e par un intervalle born´ e I de R, `
a valeurs dans un espace m´ etrique complet
(E, d). Supposons qu’il existe trois r´ eels q, ε,C > 0 tels que, pour tous s,t ∈ I,
E[d(X s , X t )
q ] ≤ C |t − s|
1+ε .
d( ˜
X s (ω), ˜
X t (ω)) ≤ C α (ω) |t − s|
α .
En particulier, ˜
X est une modification continue de X (unique `
a indistinguabilit´ e pr` es
d’apr` es ci-dessus).
Remarques. (i) Si I est non born´ e, par exemple si I = R + , on peut appliquer le
Th´ eor` eme 2.1 `
a I = [0, 1], [1, 2], [2, 3], etc. et on trouve encore que X a une modification continue, qui est localement h¨ old´ erienne d’exposant α pour tout α ∈]0, ε/q[.
(ii) Il suffit de montrer que pour α ∈]0, ε/q[ fix´ e, X a une modification dont
les trajectoires sont h¨ old´ eriennes d’exposant α. En effet, on applique ce r´ esultat `
a
une suite α k ↑ ε/q en observant que les processus obtenus sont alors tous indistinguables, d’apr` es la remarque pr´ ec´ edant le th´ eor` eme.
D´ emonstration. Pour simplifier l’´ ecriture, on prend I = [0, 1], mais la preuve est la
mˆ eme pour un intervalle born´ e quelconque. On note D l’ensemble (d´ enombrable)
des nombres dyadiques de l’intervalle [0, 1[, c’est-` a-dire des r´ eels t ∈ [0, 1] qui
s’´ ecrivent
t =
p
∑
k=1
ε k 2
−k
o` u p ≥ 1 est un entier et ε k = 0 ou 1, pour tout k ∈ {1, . . . , p}.
Alors, il existe une modification ˜
X de X dont les trajectoires sont höldériennes
d’exposant α pour tout ω ∈ Ω et tout α ∈ ]0,
ε
q [ : cela signifie que, pour tout
α ∈ ]0,
ε
q [, il existe une constante C α (ω) telle que, pour tous s, t ∈ I ,
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P(∀t ∈ T, X t = ˜
X t ) = 1.
(Cette formulation est l´ eg` erement abusive car l’´ ev´ enement {∀t ∈ T, X t = ˜
X t } n’est
pas forc´ ement mesurable.)
Si deux processus sont indistinguables, l’un est une modification de l’autre. La
notion d’indistinguabilit´ e est cependant (beaucoup) plus forte : deux processus indistinguables ont p.s. les mˆ emes trajectoires. Dans la suite on identifiera deux processus indistinguables. Une assertion de la forme “il existe un unique processus tel
que ...” doit toujours ˆ
etre comprise “` a indistinguabilit´ e pr` es”, mˆ eme si cela n’est pas
dit explicitement.
Si T = I est un intervalle de R, et si X et ˜
X sont deux processus dont les trajectoires sont p.s. continues, alors ˜
X est une modification de X si et seulement si X et
˜
X sont indistinguables. En effet, si ˜
X est une modification de X on a p.s. ∀t ∈ I ∩ Q,
X t = ˜
X t (on ´
ecarte une r´ eunion d´ enombrable d’ensembles de probabilit´ e nulle) d’o` u
p.s. ∀t ∈ I, X t = ˜
X t par continuit´ e. Le mˆ eme argument marche si on suppose seulement les trajectoires continues `
a droite, ou `
a gauche.
Th´ eor` eme 2.1 (lemme de Kolmogorov). Soit X = (X t ) t∈I un processus al´ eatoire
index´ e par un intervalle born´ e I de R, `
a valeurs dans un espace m´ etrique complet
(E, d). Supposons qu’il existe trois r´ eels q, ε,C > 0 tels que, pour tous s,t ∈ I,
E[d(X s , X t )
q ] ≤ C |t − s|
1+ε .
d( ˜
X s (ω), ˜
X t (ω)) ≤ C α (ω) |t − s|
α .
En particulier, ˜
X est une modification continue de X (unique `
a indistinguabilit´ e pr` es
d’apr` es ci-dessus).
Remarques. (i) Si I est non born´ e, par exemple si I = R + , on peut appliquer le
Th´ eor` eme 2.1 `
a I = [0, 1], [1, 2], [2, 3], etc. et on trouve encore que X a une modification continue, qui est localement h¨ old´ erienne d’exposant α pour tout α ∈]0, ε/q[.
(ii) Il suffit de montrer que pour α ∈]0, ε/q[ fix´ e, X a une modification dont
les trajectoires sont h¨ old´ eriennes d’exposant α. En effet, on applique ce r´ esultat `
a
une suite α k ↑ ε/q en observant que les processus obtenus sont alors tous indistinguables, d’apr` es la remarque pr´ ec´ edant le th´ eor` eme.
D´ emonstration. Pour simplifier l’´ ecriture, on prend I = [0, 1], mais la preuve est la
mˆ eme pour un intervalle born´ e quelconque. On note D l’ensemble (d´ enombrable)
des nombres dyadiques de l’intervalle [0, 1[, c’est-` a-dire des r´ eels t ∈ [0, 1] qui
s’´ ecrivent
t =
p
∑
k=1
ε k 2
−k
o` u p ≥ 1 est un entier et ε k = 0 ou 1, pour tout k ∈ {1, . . . , p}.
Alors, il existe une modification ˜
X de X dont les trajectoires sont höldériennes
d’exposant α pour tout ω ∈ Ω et tout α ∈ ]0,
ε
q [ : cela signifie que, pour tout
α ∈ ]0,
ε
q [, il existe une constante C α (ω) telle que, pour tous s, t ∈ I ,