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2 Le mouvement brownien
G( f 1 [0,t] ) =
t
0
f (s) dB s , G( f 1 ]s,t] ) =
t
s
f (r) dB r .
Cette notation est justifi´ ee par le fait que si u < v,
v
u
dB s = G(]u, v]) = B v − B u .
L’application f →
∞
0 f (s) dB s (c’est-` a-dire la mesure gaussienne G) est alors appel´ ee int´ egrale de Wiener par rapport au pr´ e-mouvement brownien B. Rappelons
que
∞
0 f (s)dB s suit une loi gaussienne N (0,
∞
0 f (s) 2 ds).
Comme les mesures gaussiennes ne sont pas de “vraies” mesures, la notation
∞
0 f (s)dB s ne correspond pas `
a une “vraie” int´ egrale d´ ependant de ω. Une partie
importante de la suite de ce cours est consacr´ ee `
a ´
etendre la d´ efinition de
∞
0 f (s)dB s
`
a des fonctions f qui peuvent d´ ependre de ω.
2.2 La continuit´ e des trajectoires
D´ efinition 2.2. Si (X t ) t∈T est un processus al´ eatoire `
a valeurs dans un espace E,
les trajectoires de X sont les applications T t → X t (ω) obtenues en fixant ω. Les
trajectoires constituent donc une famille, index´ ee par ω ∈ Ω , d’applications de T
dans E.
Soit B = (B t ) t≥0 un pr´ e-mouvement brownien. Au stade o` u nous en sommes, on
ne peut rien affirmer au sujet des trajectoires de B : il n’est mˆ eme pas ´
evident (ni vrai
en g´ en´ eral) que ces applications soient mesurables. Le but de ce paragraphe est de
montrer que, quitte `
a modifier “un peu” B, on peut faire en sorte que ses trajectoires
soient continues.
D´ efinition 2.3. Soient (X t ) t∈T et ( ˜
X t ) t∈T deux processus al´ eatoires index´ es par le
mˆ eme ensemble T et `
a valeurs dans le mˆ eme espace E. On dit que ˜
X est une modification de X si
∀t ∈ T,
P[ ˜
X t = X t ] = 1.
Remarquons que le processus ˜
X a alors mˆ emes lois marginales de dimension
finie que X. En particulier, si X est un pr´ e–mouvement brownien, ˜
X est aussi un
pr´ e-mouvement brownien. En revanche, les trajectoires de ˜
X peuvent avoir un comportement tr` es diff´ erent de celles de X. Il peut arriver par exemple que les trajectoires
de ˜
X soient toutes continues alors que celles de X sont toutes discontinues.
D´ efinition 2.4. Les deux processus X et ˜
X sont dits indistinguables s’il existe un
sous-ensemble n´ egligeable N de Ω tel que
∀ω ∈ Ω \N, ∀t ∈ T, X t (ω) = X
t (ω).
Dit de mani` ere un peu diff´ erente, les processus X et ˜
X sont indistinguables si
2 Le mouvement brownien
G( f 1 [0,t] ) =
t
0
f (s) dB s , G( f 1 ]s,t] ) =
t
s
f (r) dB r .
Cette notation est justifi´ ee par le fait que si u < v,
v
u
dB s = G(]u, v]) = B v − B u .
L’application f →
∞
0 f (s) dB s (c’est-` a-dire la mesure gaussienne G) est alors appel´ ee int´ egrale de Wiener par rapport au pr´ e-mouvement brownien B. Rappelons
que
∞
0 f (s)dB s suit une loi gaussienne N (0,
∞
0 f (s) 2 ds).
Comme les mesures gaussiennes ne sont pas de “vraies” mesures, la notation
∞
0 f (s)dB s ne correspond pas `
a une “vraie” int´ egrale d´ ependant de ω. Une partie
importante de la suite de ce cours est consacr´ ee `
a ´
etendre la d´ efinition de
∞
0 f (s)dB s
`
a des fonctions f qui peuvent d´ ependre de ω.
2.2 La continuit´ e des trajectoires
D´ efinition 2.2. Si (X t ) t∈T est un processus al´ eatoire `
a valeurs dans un espace E,
les trajectoires de X sont les applications T t → X t (ω) obtenues en fixant ω. Les
trajectoires constituent donc une famille, index´ ee par ω ∈ Ω , d’applications de T
dans E.
Soit B = (B t ) t≥0 un pr´ e-mouvement brownien. Au stade o` u nous en sommes, on
ne peut rien affirmer au sujet des trajectoires de B : il n’est mˆ eme pas ´
evident (ni vrai
en g´ en´ eral) que ces applications soient mesurables. Le but de ce paragraphe est de
montrer que, quitte `
a modifier “un peu” B, on peut faire en sorte que ses trajectoires
soient continues.
D´ efinition 2.3. Soient (X t ) t∈T et ( ˜
X t ) t∈T deux processus al´ eatoires index´ es par le
mˆ eme ensemble T et `
a valeurs dans le mˆ eme espace E. On dit que ˜
X est une modification de X si
∀t ∈ T,
P[ ˜
X t = X t ] = 1.
Remarquons que le processus ˜
X a alors mˆ emes lois marginales de dimension
finie que X. En particulier, si X est un pr´ e–mouvement brownien, ˜
X est aussi un
pr´ e-mouvement brownien. En revanche, les trajectoires de ˜
X peuvent avoir un comportement tr` es diff´ erent de celles de X. Il peut arriver par exemple que les trajectoires
de ˜
X soient toutes continues alors que celles de X sont toutes discontinues.
D´ efinition 2.4. Les deux processus X et ˜
X sont dits indistinguables s’il existe un
sous-ensemble n´ egligeable N de Ω tel que
∀ω ∈ Ω \N, ∀t ∈ T, X t (ω) = X
t (ω).
Dit de mani` ere un peu diff´ erente, les processus X et ˜
X sont indistinguables si