2.1 Le pr´ e-mouvement brownien
17
accroissements. Le pr´ e-mouvement brownien est un cas particulier de la classe des
processus `
a accroissements ind´ ependants et stationnaires.
Corollaire 2.1. Soit (B t ) t≥0 un pr´ e-mouvement brownien. Alors, pour tout choix de
0 = t 0 < t 1 < · · · < t n , la loi du vecteur (B t 1 , B t 2 , . . . , B t n ) a pour densit´ e
p(x 1 , . . . , x n ) =
1
(2π) n/2
t 1 (t 2 − t 1 ) . . . (t n − t n−1 )
exp
−
n
∑
i=1
(x i − x i−1 ) 2
2(t i − t i−1 )
,
o` u par convention x 0 = 0.
D´ emonstration. Les variables B t 1 , B t 2 − B t 1 , . . . , B t n − B t n−1 ´
etant ind´ ependantes et
de lois respectives N (0,t 1 ), N (0,t 2 −t 1 ), . . . , N (0,t n −t n−1 ), le vecteur (B t 1 , B t 2 −
B t 1 , . . . , B t n − B t n−1 ) a pour densit´ e
q(y 1 , . . . , y n ) =
1
(2π) n/2
t 1 (t 2 − t 1 ) . . . (t n − t n−1 )
exp
−
n
∑
i=1
y 2
i
2(t i − t i−1 )
,
et il suffit de faire le changement de variables x i = y 1 + · · · + y i pour i ∈ {1, . . . , n}.
Remarque. Le Corollaire 2.1, avec la propri´ et´ e B 0 = 0, d´ etermine les lois marginales
de dimension finie du pr´ e-mouvement brownien (rappelons qu’il s’agit de la donn´ ee,
pour tout choix de t 1 , . . . ,t p ∈ R + , de la loi de (B t 1 , . . . , B t p )). La propri´ et´ e (iv) de
la Proposition 2.2 montre qu’un processus ayant les mˆ emes lois marginales qu’un
pr´ e-mouvement brownien doit aussi ˆ
etre un pr´ e-mouvement brownien.
Proposition 2.3. Soit B un pr´ e-mouvement brownien. Alors,
(i) −B est aussi un pr´ e-mouvement brownien;
(ii) pour tout λ > 0, le processus B λ
t =
1
λ B λ 2 t est aussi un pr´ e-mouvement brownien (invariance par changement d’´ echelle);
(iii) pour tout s ≥ 0, le processus B
(s)
t = B s+t −B s est un pr´ e-mouvement brownien
ind´ ependant de σ (B r , r ≤ s) (propri´ et´ e de Markov simple).
D´ emonstration. (i) et (ii) sont tr` es faciles. D´ emontrons (iii). Avec les notations
de la preuve de la Proposition 2.2, la tribu engendr´ ee par B (s) est σ ( ˜
H s ), qui est
ind´ ependante de σ (H s ) = σ (B r , r ≤ s). Pour voir que B (s) est un pr´ e-mouvement
brownien, il suffit de v´ erifier la propri´ et´ e (iv) de la Proposition 2.2, ce qui est
imm´ ediat puisque B
(s)
t i − B
(s)
t i−1 = B s+t i − B s+t i−1 .
f ∈ L 2 (R + , B(R + ), dt),
G( f ) =
∞
0
f (s) dB s
et de mˆ eme
Si B est un pré-mouvement brownien et G est la mesure gaussienne associée, on
note souvent pour
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accroissements. Le pr´ e-mouvement brownien est un cas particulier de la classe des
processus `
a accroissements ind´ ependants et stationnaires.
Corollaire 2.1. Soit (B t ) t≥0 un pr´ e-mouvement brownien. Alors, pour tout choix de
0 = t 0 < t 1 < · · · < t n , la loi du vecteur (B t 1 , B t 2 , . . . , B t n ) a pour densit´ e
p(x 1 , . . . , x n ) =
1
(2π) n/2
t 1 (t 2 − t 1 ) . . . (t n − t n−1 )
exp
−
n
∑
i=1
(x i − x i−1 ) 2
2(t i − t i−1 )
,
o` u par convention x 0 = 0.
D´ emonstration. Les variables B t 1 , B t 2 − B t 1 , . . . , B t n − B t n−1 ´
etant ind´ ependantes et
de lois respectives N (0,t 1 ), N (0,t 2 −t 1 ), . . . , N (0,t n −t n−1 ), le vecteur (B t 1 , B t 2 −
B t 1 , . . . , B t n − B t n−1 ) a pour densit´ e
q(y 1 , . . . , y n ) =
1
(2π) n/2
t 1 (t 2 − t 1 ) . . . (t n − t n−1 )
exp
−
n
∑
i=1
y 2
i
2(t i − t i−1 )
,
et il suffit de faire le changement de variables x i = y 1 + · · · + y i pour i ∈ {1, . . . , n}.
Remarque. Le Corollaire 2.1, avec la propri´ et´ e B 0 = 0, d´ etermine les lois marginales
de dimension finie du pr´ e-mouvement brownien (rappelons qu’il s’agit de la donn´ ee,
pour tout choix de t 1 , . . . ,t p ∈ R + , de la loi de (B t 1 , . . . , B t p )). La propri´ et´ e (iv) de
la Proposition 2.2 montre qu’un processus ayant les mˆ emes lois marginales qu’un
pr´ e-mouvement brownien doit aussi ˆ
etre un pr´ e-mouvement brownien.
Proposition 2.3. Soit B un pr´ e-mouvement brownien. Alors,
(i) −B est aussi un pr´ e-mouvement brownien;
(ii) pour tout λ > 0, le processus B λ
t =
1
λ B λ 2 t est aussi un pr´ e-mouvement brownien (invariance par changement d’´ echelle);
(iii) pour tout s ≥ 0, le processus B
(s)
t = B s+t −B s est un pr´ e-mouvement brownien
ind´ ependant de σ (B r , r ≤ s) (propri´ et´ e de Markov simple).
D´ emonstration. (i) et (ii) sont tr` es faciles. D´ emontrons (iii). Avec les notations
de la preuve de la Proposition 2.2, la tribu engendr´ ee par B (s) est σ ( ˜
H s ), qui est
ind´ ependante de σ (H s ) = σ (B r , r ≤ s). Pour voir que B (s) est un pr´ e-mouvement
brownien, il suffit de v´ erifier la propri´ et´ e (iv) de la Proposition 2.2, ce qui est
imm´ ediat puisque B
(s)
t i − B
(s)
t i−1 = B s+t i − B s+t i−1 .
f ∈ L 2 (R + , B(R + ), dt),
G( f ) =
∞
0
f (s) dB s
et de mˆ eme
Si B est un pré-mouvement brownien et G est la mesure gaussienne associée, on
note souvent pour