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2 Le mouvement brownien
Proposition 2.2. Soit (X t ) t≥0 un processus al´ eatoire `
a valeurs r´ eelles. Il y a ´
equivalence entre les propri´ et´ es suivantes :
(i) (X t ) t≥0 est un pr´ e-mouvement brownien;
(ii) (X t ) t≥0 est un processus gaussien centr´ e de covariance K(s,t) = s ∧ t;
(iii) X 0 = 0 p.s. et pour tous 0 ≤ s < t, la variable X t − X s est ind´ ependante de
σ (X r , r ≤ s) et suit la loi N (0,t − s);
(iv) X 0 = 0 p.s. et pour tout choix de 0 = t 0 < t 1 < · · · < t p , les variables X t i −X t i−1 ,
1 ≤ i ≤ p sont ind´ ependantes, la variable X t i − X t i−1 suivant la loi N (0,t i −t i−1 ).
D´ emonstration. L’implication (i)⇒(ii) est la Proposition 2.1. Montrons l’implication (ii)⇒(iii). On suppose que (X t ) t≥0 est un processus gaussien centr´ e de covariance K(s,t) = s ∧ t, et on note H l’espace gaussien engendr´ e par (X t ) t≥0 . Alors
X 0 suit une loi N (0, 0) et donc X 0 = 0 p.s. Ensuite, fixons s > 0 et notons H s
l’espace vectoriel engendr´ e par (X r , 0 ≤ r ≤ s), ˜
H s l’espace vectoriel engendr´ e par
(X s+u − X s , u ≥ 0). Alors H s et ˜
H s sont orthogonaux puisque, pour r ∈ [0, s] et u ≥ 0,
E[X r (X s+u − X s )] = r ∧ (s + u) − r ∧ s = r − r = 0.
Comme H s et ˜
H s sont aussi contenus dans le mˆ eme espace gaussien H, on d´ eduit du
Th´ eor` eme 1.2 que σ (H s ) et σ ( ˜
H s ) sont ind´ ependantes. En particulier, si on fixe t > s,
la variable X t − X s est ind´ ependante de σ (H s ) = σ (X r , r ≤ s). Enfin, en utilisant la
forme de la fonction de covariance, on voit ais´ ement que X t − X s suit la loi N (0,t −
s).
L’implication (iii)⇒(iv) est facile : en prenant s = t p−1 et t = t p on obtient
d’abord que X t p − X t p−1 est ind´ ependante de (X t 1 , . . . , X t p−1 ) et on continue par
r´ ecurrence.
Montrons l’implication (iv)⇒(i). Il d´ ecoule facilement de (iv) que X est un processus gaussien. Ensuite, si f est une fonction en escalier sur R + de la forme
f = ∑
n
i=1 λ i 1 ]t i−1 ,t i ] , on pose
G( f ) =
n
∑
i=1
λ i (X t i − X t i−1 )
(observer que cette d´ efinition ne d´ epend pas de l’´ ecriture choisie pour f ). On v´ erifie
imm´ ediatement que si g est une autre fonction en escalier du mˆ eme type on a
E[G( f )G(g)] =
R +
f (t)g(t) dt.
Grˆ ace `
a la densit´ e des fonctions en escalier dans L 2 (R + , B(R + ), dt), on en d´ eduit
que l’application f → G( f ) s’´ etend en une isom´ etrie de L 2 (R + , B(R + ), dt) dans
l’espace gaussien engendr´ e par X. Enfin, par construction, G([0,t]) = X t − X 0 = X t .
Remarque. La propri´ et´ e (iii) (avec seulement le fait que la loi de X t − X s ne d´ epend
que de t − s) est souvent appel´ ee propri´ et´ e d’ind´ ependance et de stationnarit´ e des
2 Le mouvement brownien
Proposition 2.2. Soit (X t ) t≥0 un processus al´ eatoire `
a valeurs r´ eelles. Il y a ´
equivalence entre les propri´ et´ es suivantes :
(i) (X t ) t≥0 est un pr´ e-mouvement brownien;
(ii) (X t ) t≥0 est un processus gaussien centr´ e de covariance K(s,t) = s ∧ t;
(iii) X 0 = 0 p.s. et pour tous 0 ≤ s < t, la variable X t − X s est ind´ ependante de
σ (X r , r ≤ s) et suit la loi N (0,t − s);
(iv) X 0 = 0 p.s. et pour tout choix de 0 = t 0 < t 1 < · · · < t p , les variables X t i −X t i−1 ,
1 ≤ i ≤ p sont ind´ ependantes, la variable X t i − X t i−1 suivant la loi N (0,t i −t i−1 ).
D´ emonstration. L’implication (i)⇒(ii) est la Proposition 2.1. Montrons l’implication (ii)⇒(iii). On suppose que (X t ) t≥0 est un processus gaussien centr´ e de covariance K(s,t) = s ∧ t, et on note H l’espace gaussien engendr´ e par (X t ) t≥0 . Alors
X 0 suit une loi N (0, 0) et donc X 0 = 0 p.s. Ensuite, fixons s > 0 et notons H s
l’espace vectoriel engendr´ e par (X r , 0 ≤ r ≤ s), ˜
H s l’espace vectoriel engendr´ e par
(X s+u − X s , u ≥ 0). Alors H s et ˜
H s sont orthogonaux puisque, pour r ∈ [0, s] et u ≥ 0,
E[X r (X s+u − X s )] = r ∧ (s + u) − r ∧ s = r − r = 0.
Comme H s et ˜
H s sont aussi contenus dans le mˆ eme espace gaussien H, on d´ eduit du
Th´ eor` eme 1.2 que σ (H s ) et σ ( ˜
H s ) sont ind´ ependantes. En particulier, si on fixe t > s,
la variable X t − X s est ind´ ependante de σ (H s ) = σ (X r , r ≤ s). Enfin, en utilisant la
forme de la fonction de covariance, on voit ais´ ement que X t − X s suit la loi N (0,t −
s).
L’implication (iii)⇒(iv) est facile : en prenant s = t p−1 et t = t p on obtient
d’abord que X t p − X t p−1 est ind´ ependante de (X t 1 , . . . , X t p−1 ) et on continue par
r´ ecurrence.
Montrons l’implication (iv)⇒(i). Il d´ ecoule facilement de (iv) que X est un processus gaussien. Ensuite, si f est une fonction en escalier sur R + de la forme
f = ∑
n
i=1 λ i 1 ]t i−1 ,t i ] , on pose
G( f ) =
n
∑
i=1
λ i (X t i − X t i−1 )
(observer que cette d´ efinition ne d´ epend pas de l’´ ecriture choisie pour f ). On v´ erifie
imm´ ediatement que si g est une autre fonction en escalier du mˆ eme type on a
E[G( f )G(g)] =
R +
f (t)g(t) dt.
Grˆ ace `
a la densit´ e des fonctions en escalier dans L 2 (R + , B(R + ), dt), on en d´ eduit
que l’application f → G( f ) s’´ etend en une isom´ etrie de L 2 (R + , B(R + ), dt) dans
l’espace gaussien engendr´ e par X. Enfin, par construction, G([0,t]) = X t − X 0 = X t .
Remarque. La propri´ et´ e (iii) (avec seulement le fait que la loi de X t − X s ne d´ epend
que de t − s) est souvent appel´ ee propri´ et´ e d’ind´ ependance et de stationnarit´ e des