J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_2,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 2
Le mouvement brownien
R´ esum´ e Ce chapitre est consacr´ e `
a la construction du mouvement brownien et `
a
l’´ etude de certaines de ses propri´ et´ es. Nous introduisons d’abord le pr´ e-mouvement
brownien (terminologie non canonique!) qu’on d´ efinit facilement `
a partir d’une
mesure gaussienne sur R + . Le passage du pr´ e-mouvement brownien au mouvement
brownien exige la propri´ et´ e additionnelle de continuit´ e des trajectoires, ici obtenue
via le lemme classique de Kolmogorov. La fin du chapitre discute quelques propri´ et´ es importantes des trajectoires browniennes, et ´
etablit la propri´ et´ e de Markov
forte, avec son application classique au principe de r´ eflexion.
2.1 Le pr´ e-mouvement brownien
Dans ce chapitre, on se place `
a nouveau sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , P).
D´ efinition 2.1. Soit G une mesure gaussienne sur R + d’intensit´ e la mesure de
Lebesgue. Le processus (B t ) t∈R + d´ efini par
B t = G(1 [0,t] )
est appel´ e pr´ e-mouvement brownien.
Proposition 2.1. Le processus (B t ) t≥0 est un processus gaussien (centr´ e) de fonction de covariance
K(s,t) = min{s,t}
(not.)
= s ∧ t.
D´ emonstration. Par d´ efinition d’une mesure gaussienne, les variables B t appartiennent `
a un mˆ eme espace gaussien, et (B t ) t≥0 est donc un processus gaussien. De
plus, pour tous s,t ≥ 0,
E[B s B t ] = E[G([0, s])G([0,t])] =
∞
0
dr 1 [0,s] (r)1 [0,t] (r) = s ∧ t.
15
Math¯matiques et Applications