12
1 Exercices
D´ emonstration. Pour n fix´ e les variables G(A n
1 ), . . . , G(A n
k n
) sont ind´ ependantes. De
plus, E[G(A n
j ) 2 ] = µ(A n
j ). On calcule alors facilement
E
k n
∑
j=1
G(A
n
j )
2 − µ(A)
2
=
k n
∑
j=1
var(G(A
n
j )
2 ) = 2
k n
∑
j=1
µ(A
n
j )
2 ,
car si X est une variable N (0, σ 2 ), var(X 2 ) = E(X 4 ) − σ 4 = 3σ 4 − σ 4 = 2σ 4 . Or,
k n
∑
j=1
µ(A
n
j )
2 ≤
sup
1≤ j≤k n
µ(A
n
j )
µ(A)
qui tend vers 0 quand n → ∞ par hypoth` ese.
Exercices
Exercice 1.1. Soit (X t ) t∈[0,1] un processus gaussien centr´ e. On suppose que l’application (t, ω) → X t (ω) est mesurable de [0, 1] × Ω dans R. On note K la fonction de
covariance de X.
1. Montrer que l’application t → X t est continue de [0, 1] dans L 2 (Ω ) si et seulement si K est continue sur [0, 1] 2 . On suppose dans la suite que cette condition est
satisfaite.
2. Soit h : [0, 1] → R une fonction mesurable telle que
1
0 |h(t)|
K(t,t) dt < ∞.
Montrer que pour presque tout ω, l’int´ egrale
1
0 h(t)X t (ω)dt est absolument convergente. On notera Z =
1
0 h(t)X t dt.
3. On fait maintenant l’hypoth` ese un peu plus forte
1
0 |h(t)|dt < ∞. Montrer que
Z est la limite dans L 2 , quand n → ∞, des variables Z n = ∑
n
i=1 X i
n
i
n
i−1
n
h(t)dt et en
d´ eduire que Z est une variable gaussienne.
4. On suppose que K est de classe C 2 . Montrer que pour tout t ∈ [0, 1], la limite
˙
X t := lim
s→t
X s − X t
s − t
existe dans L 2 (Ω ). V´ erifier que ( ˙
X t ) t∈[0,1] est un processus gaussien centr´ e. Calculer
sa fonction de covariance.
Exercice 1.2. (Filtrage de Kalman) On se donne deux suites ind´ ependantes (ε n ) n∈N
et (η n ) n∈N de variables al´ eatoires gaussiennes ind´ ependantes telles que pour tout n,
ε n est de loi N (0, σ 2 ) et η n est de loi N (0, δ 2 ), o` u σ > 0 et δ > 0. On consid` ere
les deux autres suites (X n ) n∈N et (Y n ) n∈N d´ efinies par les relations X 0 = 0, et pour
tout n ∈ N, X n+1 = a n X n + ε n+1 et Y n = cX n + η n , o` u c et a n sont des constantes
strictement positives. On pose
1 Exercices
D´ emonstration. Pour n fix´ e les variables G(A n
1 ), . . . , G(A n
k n
) sont ind´ ependantes. De
plus, E[G(A n
j ) 2 ] = µ(A n
j ). On calcule alors facilement
E
k n
∑
j=1
G(A
n
j )
2 − µ(A)
2
=
k n
∑
j=1
var(G(A
n
j )
2 ) = 2
k n
∑
j=1
µ(A
n
j )
2 ,
car si X est une variable N (0, σ 2 ), var(X 2 ) = E(X 4 ) − σ 4 = 3σ 4 − σ 4 = 2σ 4 . Or,
k n
∑
j=1
µ(A
n
j )
2 ≤
sup
1≤ j≤k n
µ(A
n
j )
µ(A)
qui tend vers 0 quand n → ∞ par hypoth` ese.
Exercices
Exercice 1.1. Soit (X t ) t∈[0,1] un processus gaussien centr´ e. On suppose que l’application (t, ω) → X t (ω) est mesurable de [0, 1] × Ω dans R. On note K la fonction de
covariance de X.
1. Montrer que l’application t → X t est continue de [0, 1] dans L 2 (Ω ) si et seulement si K est continue sur [0, 1] 2 . On suppose dans la suite que cette condition est
satisfaite.
2. Soit h : [0, 1] → R une fonction mesurable telle que
1
0 |h(t)|
K(t,t) dt < ∞.
Montrer que pour presque tout ω, l’int´ egrale
1
0 h(t)X t (ω)dt est absolument convergente. On notera Z =
1
0 h(t)X t dt.
3. On fait maintenant l’hypoth` ese un peu plus forte
1
0 |h(t)|dt < ∞. Montrer que
Z est la limite dans L 2 , quand n → ∞, des variables Z n = ∑
n
i=1 X i
n
i
n
i−1
n
h(t)dt et en
d´ eduire que Z est une variable gaussienne.
4. On suppose que K est de classe C 2 . Montrer que pour tout t ∈ [0, 1], la limite
˙
X t := lim
s→t
X s − X t
s − t
existe dans L 2 (Ω ). V´ erifier que ( ˙
X t ) t∈[0,1] est un processus gaussien centr´ e. Calculer
sa fonction de covariance.
Exercice 1.2. (Filtrage de Kalman) On se donne deux suites ind´ ependantes (ε n ) n∈N
et (η n ) n∈N de variables al´ eatoires gaussiennes ind´ ependantes telles que pour tout n,
ε n est de loi N (0, σ 2 ) et η n est de loi N (0, δ 2 ), o` u σ > 0 et δ > 0. On consid` ere
les deux autres suites (X n ) n∈N et (Y n ) n∈N d´ efinies par les relations X 0 = 0, et pour
tout n ∈ N, X n+1 = a n X n + ε n+1 et Y n = cX n + η n , o` u c et a n sont des constantes
strictement positives. On pose