1.4 Mesures gaussiennes
11
D´ emonstration. Soit ( f i , i ∈ I) un syst` eme orthonorm´ e total de L 2 (E, E , µ). Pour
toute f ∈ L 2 (E, E , µ) on a
f = ∑
i∈I
α i f i
o` u les coefficients α i =
f , f i
sont tels que
∑
i∈I
α
2
i = f
2 < ∞.
Sur un espace de probabilit´ e, on se donne alors une famille (X i ) i∈I de variables
N (0, 1) ind´ ependantes (voir [7, Chapitre III] pour l’existence d’une telle famille –
dans la suite interviendra seulement le cas o` u I est d´ enombrable, dans lequel on peut
donner une construction ´
el´ ementaire), et on pose
G( f ) = ∑
i∈I
α i X i
(la s´ erie converge dans L 2 puisque les X i , i ∈ I, forment un syst` eme orthonorm´ e dans
L 2 ). Il est alors clair que G prend ses valeurs dans l’espace gaussien engendr´ e par
les X i , i ∈ I. De plus il est imm´ ediat que G est une isom´ etrie.
On aurait pu aussi d´ eduire le r´ esultat pr´ ec´ edent du Th´ eor` eme 1.3 en prenant T =
L 2 (E, E , µ) et Γ ( f , g) =
f , g
L 2 (E,E ,µ)
. On construit ainsi un processus gaussien
(X f , f ∈ L 2 (E, E , µ)) et il suffit de prendre G( f ) = X f .
Remarque. Dans la suite, on consid´ erera uniquement le cas o` u L 2 (E, E , µ) est
s´ eparable. Par exemple, si (E, E ) = (R + , B(R + )) et µ est la mesure de Lebesgue,
on peut pour construire G se donner une suite (ξ n ) n∈N de variables N (0, 1)
ind´ ependantes, une base (ϕ n ) n∈N de L 2 (R + , B(R + ), dt) et d´ efinir G par
G( f ) = ∑
n∈N
f , ϕ n
ξ n .
Proposition 1.5. Soit G une mesure gaussienne sur (E, E ) d’intensit´ e µ. Soit A ∈ E
tel que µ(A) < ∞. Supposons qu’il existe une suite de partitions de A,
A = A
n
1 ∪ . . . ∪ A
n
k n
de pas tendant vers 0, i.e.
lim
n→∞
sup
1≤ j≤k n
µ(A
n
j )
= 0.
Alors,
lim
n→∞
k n
∑
j=1
G(A
n
j )
2 = µ(A)
dans L 2 .
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D´ emonstration. Soit ( f i , i ∈ I) un syst` eme orthonorm´ e total de L 2 (E, E , µ). Pour
toute f ∈ L 2 (E, E , µ) on a
f = ∑
i∈I
α i f i
o` u les coefficients α i =
f , f i
sont tels que
∑
i∈I
α
2
i = f
2 < ∞.
Sur un espace de probabilit´ e, on se donne alors une famille (X i ) i∈I de variables
N (0, 1) ind´ ependantes (voir [7, Chapitre III] pour l’existence d’une telle famille –
dans la suite interviendra seulement le cas o` u I est d´ enombrable, dans lequel on peut
donner une construction ´
el´ ementaire), et on pose
G( f ) = ∑
i∈I
α i X i
(la s´ erie converge dans L 2 puisque les X i , i ∈ I, forment un syst` eme orthonorm´ e dans
L 2 ). Il est alors clair que G prend ses valeurs dans l’espace gaussien engendr´ e par
les X i , i ∈ I. De plus il est imm´ ediat que G est une isom´ etrie.
On aurait pu aussi d´ eduire le r´ esultat pr´ ec´ edent du Th´ eor` eme 1.3 en prenant T =
L 2 (E, E , µ) et Γ ( f , g) =
f , g
L 2 (E,E ,µ)
. On construit ainsi un processus gaussien
(X f , f ∈ L 2 (E, E , µ)) et il suffit de prendre G( f ) = X f .
Remarque. Dans la suite, on consid´ erera uniquement le cas o` u L 2 (E, E , µ) est
s´ eparable. Par exemple, si (E, E ) = (R + , B(R + )) et µ est la mesure de Lebesgue,
on peut pour construire G se donner une suite (ξ n ) n∈N de variables N (0, 1)
ind´ ependantes, une base (ϕ n ) n∈N de L 2 (R + , B(R + ), dt) et d´ efinir G par
G( f ) = ∑
n∈N
f , ϕ n
ξ n .
Proposition 1.5. Soit G une mesure gaussienne sur (E, E ) d’intensit´ e µ. Soit A ∈ E
tel que µ(A) < ∞. Supposons qu’il existe une suite de partitions de A,
A = A
n
1 ∪ . . . ∪ A
n
k n
de pas tendant vers 0, i.e.
lim
n→∞
sup
1≤ j≤k n
µ(A
n
j )
= 0.
Alors,
lim
n→∞
k n
∑
j=1
G(A
n
j )
2 = µ(A)
dans L 2 .