10
1 Vecteurs et processus gaussiens
(X t 1 +t , . . . , X t n +t )
(loi)
= (X t 1 , . . . , X t n )
pour tout choix de t 1 , . . . ,t n ,t ∈ R. La mesure µ est appel´ ee la mesure spectrale du
processus.
1.4 Mesures gaussiennes
D´ efinition 1.4. Soit (E, E ) un espace mesurable, et soit µ une mesure σ -finie sur
(E, E ). Une mesure gaussienne d’intensit´ e µ est une isom´ etrie G de L 2 (E, E , µ) sur
un espace gaussien.
Donc, si f ∈ L 2 (E, E , µ), G( f ) est une variable al´ eatoire gaussienne centr´ ee de
variance
E[G( f )
2 ] = G( f )
2
L 2 (Ω ,F ,P) = f
2
L 2 (E,E ,µ) .
En particulier, si f = 1 A avec µ(A) < ∞, G(1 A ) suit la loi N (0, µ(A)). On notera
pour simplifier G(A) = G(1 A ).
Soient A 1 , . . . , A n ∈ E disjoints et tels que µ(A j ) < ∞ pour tout j. Alors le vecteur
(G(A 1 ), . . . , G(A n ))
est un vecteur gaussien dans R n de matrice de covariance diagonale, puisque pour
i = j, la propri´ et´ e d’isom´ etrie donne
E[G(A i )G(A j )] =
1 A i , 1 A j
L 2 (E,E ,µ)
= 0.
D’apr` es la Proposition 1.2 on en d´ eduit que les variables G(A 1 ), . . . , G(A n ) sont
ind´ ependantes.
Si A (tel que µ(A) < ∞) s’´ ecrit comme r´ eunion disjointe d’une famille d´ enombrable A 1 , A 2 , . . . alors 1 A = ∑
∞
j=1 1 A j avec une s´ erie convergeant dans L 2 (E, E , µ),
ce qui, `
a nouveau par la propri´ et´ e d’isom´ etrie, entraˆ ıne que
G(A) =
∞
∑
j=1
G(A j )
avec convergence de la s´ erie dans L 2 (Ω , F , P) (grˆ ace `
a l’ind´ ependance des G(A j )
et au th´ eor` eme de convergence des martingales discr` etes, on montre mˆ eme que la
s´ erie converge p.s.).
Les propri´ et´ es de l’application A → G(A) “ressemblent” donc `
a celles d’une
mesure (d´ ependant de ω). Cependant on peut montrer qu’en g´ en´ eral, pour ω fix´ e,
l’application A → G(A)(ω) ne d´ efinit pas une mesure (nous reviendrons sur ce point
plus loin).
Proposition 1.4. Soient (E, E ) un espace mesurable et µ une mesure σ -finie sur
(E, E ). Il existe alors une mesure gaussienne d’intensit´ e µ.
1 Vecteurs et processus gaussiens
(X t 1 +t , . . . , X t n +t )
(loi)
= (X t 1 , . . . , X t n )
pour tout choix de t 1 , . . . ,t n ,t ∈ R. La mesure µ est appel´ ee la mesure spectrale du
processus.
1.4 Mesures gaussiennes
D´ efinition 1.4. Soit (E, E ) un espace mesurable, et soit µ une mesure σ -finie sur
(E, E ). Une mesure gaussienne d’intensit´ e µ est une isom´ etrie G de L 2 (E, E , µ) sur
un espace gaussien.
Donc, si f ∈ L 2 (E, E , µ), G( f ) est une variable al´ eatoire gaussienne centr´ ee de
variance
E[G( f )
2 ] = G( f )
2
L 2 (Ω ,F ,P) = f
2
L 2 (E,E ,µ) .
En particulier, si f = 1 A avec µ(A) < ∞, G(1 A ) suit la loi N (0, µ(A)). On notera
pour simplifier G(A) = G(1 A ).
Soient A 1 , . . . , A n ∈ E disjoints et tels que µ(A j ) < ∞ pour tout j. Alors le vecteur
(G(A 1 ), . . . , G(A n ))
est un vecteur gaussien dans R n de matrice de covariance diagonale, puisque pour
i = j, la propri´ et´ e d’isom´ etrie donne
E[G(A i )G(A j )] =
1 A i , 1 A j
L 2 (E,E ,µ)
= 0.
D’apr` es la Proposition 1.2 on en d´ eduit que les variables G(A 1 ), . . . , G(A n ) sont
ind´ ependantes.
Si A (tel que µ(A) < ∞) s’´ ecrit comme r´ eunion disjointe d’une famille d´ enombrable A 1 , A 2 , . . . alors 1 A = ∑
∞
j=1 1 A j avec une s´ erie convergeant dans L 2 (E, E , µ),
ce qui, `
a nouveau par la propri´ et´ e d’isom´ etrie, entraˆ ıne que
G(A) =
∞
∑
j=1
G(A j )
avec convergence de la s´ erie dans L 2 (Ω , F , P) (grˆ ace `
a l’ind´ ependance des G(A j )
et au th´ eor` eme de convergence des martingales discr` etes, on montre mˆ eme que la
s´ erie converge p.s.).
Les propri´ et´ es de l’application A → G(A) “ressemblent” donc `
a celles d’une
mesure (d´ ependant de ω). Cependant on peut montrer qu’en g´ en´ eral, pour ω fix´ e,
l’application A → G(A)(ω) ne d´ efinit pas une mesure (nous reviendrons sur ce point
plus loin).
Proposition 1.4. Soient (E, E ) un espace mesurable et µ une mesure σ -finie sur
(E, E ). Il existe alors une mesure gaussienne d’intensit´ e µ.