1.3 Espaces et processus gaussiens
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suivant : si Z est une variable G -mesurable et si Y est ind´ ependante de G alors, pour
toute fonction g mesurable positive, E[g(Y, Z) | G ] =
g(y, Z) P Y (dy). Le r´ esultat
annonc´ e en (ii) d´ ecoule aussitˆ ot de la formule pr´ ec´ edente.
Soit (X t ) t∈T un processus gaussien (centr´ e). La fonction de covariance de X est
la fonction Γ : T × T −→ R d´ efinie par Γ (s,t) = cov(X s , X t ) = E[X s X t ]. Cette fonction caract´ erise ce qu’on appelle la famille des lois marginales de dimension finie
de X, c’est-` a-dire la donn´ ee pour toute famille finie {t 1 , . . . ,t p } de T , de la loi du
vecteur (X t 1 , . . . , X t p ) : en effet, ce vecteur est un vecteur gaussien centr´ e de matrice
de covariance (Γ (t i ,t j )) 1≤i, j≤p .
Remarque. On peut d´ efinir de mani` ere ´
evidente une notion de processus gaussien
non centr´ e. La famille des lois marginales de dimension finie est alors caract´ eris´ ee
par la donn´ ee de la fonction de covariance et de la fonction moyenne m(t) = E[X t ].
On peut se demander si inversement, ´
etant donn´ e une fonction Γ sur T × T , il
existe un processus gaussien X dont Γ est la fonction de covariance. La fonction Γ
doit ˆ
etre sym´ etrique (Γ (s,t) = Γ (t, s)) et de type positif au sens suivant : si c est une
fonction r´ eelle `
a support fini sur T , alors
∑
T ×T
c(s)c(t)Γ (s,t) = E[( ∑
T
c(s)X s )
2 ] ≥ 0.
Remarquons que dans le cas o` u T est fini, le probl` eme d’existence de X (qui est
alors simplement un vecteur gaussien) est r´ esolu sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes
sur Γ par le Th´ eor` eme 1.1. Le th´ eor` eme ci-dessous, que nous n’utiliserons pas dans
la suite, r´ esout le probl` eme d’existence dans le cas g´ en´ eral. Ce th´ eor` eme est une
cons´ equence directe du th´ eor` eme d’extension de Kolmogorov, dont le cas particulier
T = R + est ´
enonc´ e ci-dessous dans le Th´ eor` eme 6.1 (voir [7, Chapitre III] pour le
cas g´ en´ eral).
Th´ eor` eme 1.3. Soit Γ une fonction sym´ etrique de type positif sur T × T . Il existe
alors un processus gaussien (centr´ e) dont la fonction de covariance est Γ .
Exemple. On consid` ere le cas T = R et on se donne une mesure finie sym´ etrique
(i.e. µ(−A) = µ(A)) sur R. On pose alors
Γ (s,t) =
e
iξ (t−s) µ(dξ ).
On v´ erifie imm´ ediatement que Γ a les propri´ et´ es requises : en particulier, si c est
une fonction `
a support fini sur R,
∑
R×R
c(s)c(t)Γ (s,t) =
| ∑
R
c(s)e
iξ s |
2 µ(ds) ≥ 0.
La fonction Γ poss` ede la propri´ et´ e suppl´ ementaire de d´ ependre seulement de la
diff´ erence t −s. On en d´ eduit aussitˆ ot que le processus X associ´ e `
a Γ par le th´ eor` eme
pr´ ec´ edent est stationnaire (au sens strict), au sens o` u
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suivant : si Z est une variable G -mesurable et si Y est ind´ ependante de G alors, pour
toute fonction g mesurable positive, E[g(Y, Z) | G ] =
g(y, Z) P Y (dy). Le r´ esultat
annonc´ e en (ii) d´ ecoule aussitˆ ot de la formule pr´ ec´ edente.
Soit (X t ) t∈T un processus gaussien (centr´ e). La fonction de covariance de X est
la fonction Γ : T × T −→ R d´ efinie par Γ (s,t) = cov(X s , X t ) = E[X s X t ]. Cette fonction caract´ erise ce qu’on appelle la famille des lois marginales de dimension finie
de X, c’est-` a-dire la donn´ ee pour toute famille finie {t 1 , . . . ,t p } de T , de la loi du
vecteur (X t 1 , . . . , X t p ) : en effet, ce vecteur est un vecteur gaussien centr´ e de matrice
de covariance (Γ (t i ,t j )) 1≤i, j≤p .
Remarque. On peut d´ efinir de mani` ere ´
evidente une notion de processus gaussien
non centr´ e. La famille des lois marginales de dimension finie est alors caract´ eris´ ee
par la donn´ ee de la fonction de covariance et de la fonction moyenne m(t) = E[X t ].
On peut se demander si inversement, ´
etant donn´ e une fonction Γ sur T × T , il
existe un processus gaussien X dont Γ est la fonction de covariance. La fonction Γ
doit ˆ
etre sym´ etrique (Γ (s,t) = Γ (t, s)) et de type positif au sens suivant : si c est une
fonction r´ eelle `
a support fini sur T , alors
∑
T ×T
c(s)c(t)Γ (s,t) = E[( ∑
T
c(s)X s )
2 ] ≥ 0.
Remarquons que dans le cas o` u T est fini, le probl` eme d’existence de X (qui est
alors simplement un vecteur gaussien) est r´ esolu sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes
sur Γ par le Th´ eor` eme 1.1. Le th´ eor` eme ci-dessous, que nous n’utiliserons pas dans
la suite, r´ esout le probl` eme d’existence dans le cas g´ en´ eral. Ce th´ eor` eme est une
cons´ equence directe du th´ eor` eme d’extension de Kolmogorov, dont le cas particulier
T = R + est ´
enonc´ e ci-dessous dans le Th´ eor` eme 6.1 (voir [7, Chapitre III] pour le
cas g´ en´ eral).
Th´ eor` eme 1.3. Soit Γ une fonction sym´ etrique de type positif sur T × T . Il existe
alors un processus gaussien (centr´ e) dont la fonction de covariance est Γ .
Exemple. On consid` ere le cas T = R et on se donne une mesure finie sym´ etrique
(i.e. µ(−A) = µ(A)) sur R. On pose alors
Γ (s,t) =
e
iξ (t−s) µ(dξ ).
On v´ erifie imm´ ediatement que Γ a les propri´ et´ es requises : en particulier, si c est
une fonction `
a support fini sur R,
∑
R×R
c(s)c(t)Γ (s,t) =
| ∑
R
c(s)e
iξ s |
2 µ(ds) ≥ 0.
La fonction Γ poss` ede la propri´ et´ e suppl´ ementaire de d´ ependre seulement de la
diff´ erence t −s. On en d´ eduit aussitˆ ot que le processus X associ´ e `
a Γ par le th´ eor` eme
pr´ ec´ edent est stationnaire (au sens strict), au sens o` u