8
1 Vecteurs et processus gaussiens
Proposition 1.2, les composantes sont ind´ ependantes. Cela implique que les vecteurs
(η 1
1 , . . . , η 1
m 1
), . . . , (η
p
1 , . . . , η
p
m p ) sont ind´ ependants. De mani` ere ´
equivalente les vecteurs (ξ 1
1 , . . . , ξ 1
n 1
), . . . , (ξ
p
1 , . . . , ξ
p
n p ) sont ind´ ependants, ce qui ´
etait le r´ esultat recherch´ e.
Corollaire 1.1. Soient H un espace gaussien et K un sous-espace vectoriel ferm´ e
de H. On note p K la projection orthogonale sur K. Soit X ∈ H.
(i) On a
E[X | σ (K)] = p K (X).
(ii) Soit σ 2 = E[(X − p K (X)) 2 ]. Alors, pour tout bor´ elien A de R,
P[X ∈ A | σ (K)] = Q(ω, A),
o` u Q(ω, ·) est la loi N (p K (X)(ω), σ 2 ) :
Q(ω, A) =
1
σ
√
2π
A
dy exp
−
(y − p K (X)) 2
2σ 2
(et Q(ω, A) = 1 A (p K (X)) si σ = 0).
Remarques. a) La partie (ii) de l’´ enonc´ e s’interpr` ete en disant que la loi conditionnelle de X sachant la tribu σ (K) est la loi N (p K (X), σ 2 ).
b) Pour une variable al´ eatoire X seulement suppos´ ee dans L 2 , on a
E[X | σ (K)] = p L 2 (Ω ,σ (K),P) (X).
L’assertion (i) montre que dans notre cadre gaussien, cette projection orthogonale
co¨ ıncide avec la projection orthogonale sur l’espace K, qui est bien plus petit que
L 2 (Ω , σ (K), P).
c) L’assertion (i) donne aussi le principe de la r´ egression lin´ eaire. Par exemple,
si (X 1 , X 2 , X 3 ) est un vecteur gaussien (centr´ e), la meilleure approximation (au sens
L 2 ) de X 3 connaisssant X 1 et X 2 s’´ ecrit λ 1 X 1 + λ 2 X 2 o` u λ 1 et λ 2 sont d´ etermin´ es en
disant que X 3 − (λ 1 X 1 + λ 2 X 2 ) est orthogonal `
a e.v.(X 1 , X 2 ).
D´ emonstration. (i) Soit Y = X − p K (X). Alors Y est orthogonal `
a K et d’apr` es le
Th´ eor` eme 1.2, Y est ind´ ependante de σ (K). Ensuite,
E[X | σ (K)] = E[p K (X) | σ (K)] + E[Y | σ (K)] = p K (X) + E[Y ] = p K (X).
(ii) On ´
ecrit, pour toute fonction f mesurable positive sur R + ,
E[ f (X) | σ (K)] = E[ f (p K (X) +Y ) | σ (K)] =
P Y (dy) f (p K (X) + y),
o` u P Y est la loi de Y qui est une loi N (0, σ 2 ) puisque Y est une variable gaussienne (centr´ ee) de variance σ 2 . Dans la deuxi` eme ´
egalit´ e, on a utilis´ e le fait g´ en´ eral
1 Vecteurs et processus gaussiens
Proposition 1.2, les composantes sont ind´ ependantes. Cela implique que les vecteurs
(η 1
1 , . . . , η 1
m 1
), . . . , (η
p
1 , . . . , η
p
m p ) sont ind´ ependants. De mani` ere ´
equivalente les vecteurs (ξ 1
1 , . . . , ξ 1
n 1
), . . . , (ξ
p
1 , . . . , ξ
p
n p ) sont ind´ ependants, ce qui ´
etait le r´ esultat recherch´ e.
Corollaire 1.1. Soient H un espace gaussien et K un sous-espace vectoriel ferm´ e
de H. On note p K la projection orthogonale sur K. Soit X ∈ H.
(i) On a
E[X | σ (K)] = p K (X).
(ii) Soit σ 2 = E[(X − p K (X)) 2 ]. Alors, pour tout bor´ elien A de R,
P[X ∈ A | σ (K)] = Q(ω, A),
o` u Q(ω, ·) est la loi N (p K (X)(ω), σ 2 ) :
Q(ω, A) =
1
σ
√
2π
A
dy exp
−
(y − p K (X)) 2
2σ 2
(et Q(ω, A) = 1 A (p K (X)) si σ = 0).
Remarques. a) La partie (ii) de l’´ enonc´ e s’interpr` ete en disant que la loi conditionnelle de X sachant la tribu σ (K) est la loi N (p K (X), σ 2 ).
b) Pour une variable al´ eatoire X seulement suppos´ ee dans L 2 , on a
E[X | σ (K)] = p L 2 (Ω ,σ (K),P) (X).
L’assertion (i) montre que dans notre cadre gaussien, cette projection orthogonale
co¨ ıncide avec la projection orthogonale sur l’espace K, qui est bien plus petit que
L 2 (Ω , σ (K), P).
c) L’assertion (i) donne aussi le principe de la r´ egression lin´ eaire. Par exemple,
si (X 1 , X 2 , X 3 ) est un vecteur gaussien (centr´ e), la meilleure approximation (au sens
L 2 ) de X 3 connaisssant X 1 et X 2 s’´ ecrit λ 1 X 1 + λ 2 X 2 o` u λ 1 et λ 2 sont d´ etermin´ es en
disant que X 3 − (λ 1 X 1 + λ 2 X 2 ) est orthogonal `
a e.v.(X 1 , X 2 ).
D´ emonstration. (i) Soit Y = X − p K (X). Alors Y est orthogonal `
a K et d’apr` es le
Th´ eor` eme 1.2, Y est ind´ ependante de σ (K). Ensuite,
E[X | σ (K)] = E[p K (X) | σ (K)] + E[Y | σ (K)] = p K (X) + E[Y ] = p K (X).
(ii) On ´
ecrit, pour toute fonction f mesurable positive sur R + ,
E[ f (X) | σ (K)] = E[ f (p K (X) +Y ) | σ (K)] =
P Y (dy) f (p K (X) + y),
o` u P Y est la loi de Y qui est une loi N (0, σ 2 ) puisque Y est une variable gaussienne (centr´ ee) de variance σ 2 . Dans la deuxi` eme ´
egalit´ e, on a utilis´ e le fait g´ en´ eral