1.3 Espaces et processus gaussiens
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D´ efinition 1.3. Un processus al´ eatoire (X t ) t∈T `
a valeurs r´ eelles est un processus
gaussien (centr´ e) si toute combinaison lin´ eaire finie des variables X t , t ∈ T est
gaussienne centr´ ee.
Proposition 1.3. Si (X t ) t∈T est un processus gaussien, le sous-espace vectoriel
ferm´ e de L 2 engendr´ e par les variables X t , t ∈ T est un espace gaussien, appel´ e
espace gaussien engendr´ e par le processus X.
D´ emonstration. Il suffit de remarquer qu’une limite dans L 2 de variables gaussiennes centr´ ees est encore gaussienne centr´ ee (cf. Proposition 1.1).
Si H est un ensemble de variables al´ eatoires d´ efinies sur Ω , on note σ (H) la
tribu engendr´ ee par les variables ξ ∈ H (c’est la plus petite tribu sur Ω qui rend
mesurables ces variables).
Th´ eor` eme 1.2. Soit H un espace gaussien et soit (H i ) i∈I une famille de sousespaces vectoriels de H. Alors les sous-espaces H i , i ∈ I sont orthogonaux deux
`
a deux dans L 2 si et seulement si les tribus σ (H i ), i ∈ I sont ind´ ependantes.
Remarque. Il est crucial que les espaces H i soient contenus dans un mˆ eme espace
gaussien. Consid´ erons par exemple une variable X de loi N (0, 1) et une seconde
variable ε ind´ ependante de X et telle que P[ε = 1] = P[ε = −1] = 1/2. Alors X 1 = X,
X 2 = εX sont deux variables N (0, 1). De plus, E[X 1 X 2 ] = E[ε]E[X 2 ] = 0. Cependant X 1 et X 2 ne sont ´
evidemment pas ind´ ependantes (parce que |X 1 | = |X 2 |). Dans
cet exemple, le couple (X 1 , X 2 ) n’est pas un vecteur gaussien dans R 2 bien que ses
coordonn´ ees soient des variables gaussiennes.
D´ emonstration. Si les tribus σ (H i ) sont ind´ ependantes, on a pour i = j, si X ∈ H i
et Y ∈ H j ,
E[XY ] = E[X]E[Y ] = 0,
et donc les espaces H i sont deux `
a deux orthogonaux.
Inversement, supposons les espaces H i deux `
a deux orthogonaux. Par d´ efinition
de l’ind´ ependance d’une famille infinie de tribus, il suffit de montrer que, si
i 1 , . . . , i p ∈ I sont distincts, les tribus σ (H i 1 ), . . . , σ (H i p ) sont ind´ ependantes. Ensuite, il suffit de montrer que, si on fixe ξ 1
1 , . . . , ξ 1
n 1
∈ H i 1 , . . . , ξ
p
1 , . . . , ξ
p
n p ∈ H i p ,
les vecteurs (ξ 1
1 , . . . , ξ 1
n 1
), . . . , (ξ
p
1 , . . . , ξ
p
n p ) sont ind´ ependants (en effet, pour chaque
j ∈ {1, . . . , p}, les ensembles de la forme {ξ
j
1 ∈ A 1 , . . . , ξ
j
n j ∈ A n j } forment une
classe stable par intersection finie qui engendre la tribu σ (H i j ), et on peut ensuite utiliser un argument classique de classe monotone, voir l’Appendice A1). Or,
pour chaque j ∈ {1, . . . , p} on peut trouver une base orthonorm´ ee (η
j
1 , . . . , η
j
m j )
de e.v.{ξ
j
1 , . . . , ξ
j
n j } (vu comme sous-espace de L 2 ). La matrice de covariance du
vecteur
(η
1
1 , . . . , η
1
m 1
, η
2
1 , . . . , η
2
m 2
, . . . , η
p
1 , . . . , η
p
m p )
est donc la matrice identit´ e (pour i = j, E[η i
l η
j
r ] = 0 `
a cause de l’orthogonalit´ e
de H i et H j ). Ce vecteur est gaussien car ses composantes sont dans H. D’apr` es la
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D´ efinition 1.3. Un processus al´ eatoire (X t ) t∈T `
a valeurs r´ eelles est un processus
gaussien (centr´ e) si toute combinaison lin´ eaire finie des variables X t , t ∈ T est
gaussienne centr´ ee.
Proposition 1.3. Si (X t ) t∈T est un processus gaussien, le sous-espace vectoriel
ferm´ e de L 2 engendr´ e par les variables X t , t ∈ T est un espace gaussien, appel´ e
espace gaussien engendr´ e par le processus X.
D´ emonstration. Il suffit de remarquer qu’une limite dans L 2 de variables gaussiennes centr´ ees est encore gaussienne centr´ ee (cf. Proposition 1.1).
Si H est un ensemble de variables al´ eatoires d´ efinies sur Ω , on note σ (H) la
tribu engendr´ ee par les variables ξ ∈ H (c’est la plus petite tribu sur Ω qui rend
mesurables ces variables).
Th´ eor` eme 1.2. Soit H un espace gaussien et soit (H i ) i∈I une famille de sousespaces vectoriels de H. Alors les sous-espaces H i , i ∈ I sont orthogonaux deux
`
a deux dans L 2 si et seulement si les tribus σ (H i ), i ∈ I sont ind´ ependantes.
Remarque. Il est crucial que les espaces H i soient contenus dans un mˆ eme espace
gaussien. Consid´ erons par exemple une variable X de loi N (0, 1) et une seconde
variable ε ind´ ependante de X et telle que P[ε = 1] = P[ε = −1] = 1/2. Alors X 1 = X,
X 2 = εX sont deux variables N (0, 1). De plus, E[X 1 X 2 ] = E[ε]E[X 2 ] = 0. Cependant X 1 et X 2 ne sont ´
evidemment pas ind´ ependantes (parce que |X 1 | = |X 2 |). Dans
cet exemple, le couple (X 1 , X 2 ) n’est pas un vecteur gaussien dans R 2 bien que ses
coordonn´ ees soient des variables gaussiennes.
D´ emonstration. Si les tribus σ (H i ) sont ind´ ependantes, on a pour i = j, si X ∈ H i
et Y ∈ H j ,
E[XY ] = E[X]E[Y ] = 0,
et donc les espaces H i sont deux `
a deux orthogonaux.
Inversement, supposons les espaces H i deux `
a deux orthogonaux. Par d´ efinition
de l’ind´ ependance d’une famille infinie de tribus, il suffit de montrer que, si
i 1 , . . . , i p ∈ I sont distincts, les tribus σ (H i 1 ), . . . , σ (H i p ) sont ind´ ependantes. Ensuite, il suffit de montrer que, si on fixe ξ 1
1 , . . . , ξ 1
n 1
∈ H i 1 , . . . , ξ
p
1 , . . . , ξ
p
n p ∈ H i p ,
les vecteurs (ξ 1
1 , . . . , ξ 1
n 1
), . . . , (ξ
p
1 , . . . , ξ
p
n p ) sont ind´ ependants (en effet, pour chaque
j ∈ {1, . . . , p}, les ensembles de la forme {ξ
j
1 ∈ A 1 , . . . , ξ
j
n j ∈ A n j } forment une
classe stable par intersection finie qui engendre la tribu σ (H i j ), et on peut ensuite utiliser un argument classique de classe monotone, voir l’Appendice A1). Or,
pour chaque j ∈ {1, . . . , p} on peut trouver une base orthonorm´ ee (η
j
1 , . . . , η
j
m j )
de e.v.{ξ
j
1 , . . . , ξ
j
n j } (vu comme sous-espace de L 2 ). La matrice de covariance du
vecteur
(η
1
1 , . . . , η
1
m 1
, η
2
1 , . . . , η
2
m 2
, . . . , η
p
1 , . . . , η
p
m p )
est donc la matrice identit´ e (pour i = j, E[η i
l η
j
r ] = 0 `
a cause de l’orthogonalit´ e
de H i et H j ). Ce vecteur est gaussien car ses composantes sont dans H. D’apr` es la