6
1 Vecteurs et processus gaussiens
O = {u =
r
∑
j=1
α j ε j : a j < α j < b j , ∀1 ≤ j ≤ r},
on a P[X ∈ O] = ∏
r
j=1 P[a j < Y j < b j ] > 0. Cela suffit pour obtenir l’´ egalit´ e
supp P X = e.v.{ε 1 , . . . , ε r }.
Si r < d, puisque e.v.{ε 1 , . . . , ε r } est de mesure nulle, la loi de X est ´
etrang` ere
par rapport `
a la mesure de Lebesgue sur E. Si r = d, notons Y le vecteur al´ eatoire de
R d d´ efini par Y = (Y 1 , . . . ,Y d ) et remarquons que X est l’image de Y par la bijection
ϕ(y 1 , . . . , y d ) = ∑ y j ε j . Alors, en notant y = (y 1 , . . . , y d ),
E[g(X)] = E[g(ϕ(Y ))]
=
1
(2π) d/2
R d
g(ϕ(y)) exp
−
1
2
d
∑
j=1
y 2
j
λ j
dy 1 . . . dy d
λ 1 . . . λ d
=
1
(2π) d/2 √
det γ X
R d
g(ϕ(y)) exp(−
1
2
ϕ(y), γ
−1
X (ϕ(y))
) dy 1 . . . dy d
=
1
(2π) d/2 √
det γ X
E
g(x) exp(−
1
2
x, γ
−1
X (x)
) dx,
puisque la mesure de Lebesgue sur E est par d´ efinition l’image de la mesure de
Lebesgue sur R d par ϕ (ou par n’importe quelle autre isom´ etrie de R d sur E). Pour
la deuxi` eme ´
egalit´ e, on a utilis´ e le fait que Y 1 , . . . ,Y d sont des variables gaussiennes
N (0, λ j ) ind´ ependantes, et pour la troisi` eme l’´ egalit´ e
ϕ(y), γ
−1
X (ϕ(y))
=
∑ y j ε j , ∑
y j
λ j
ε j
= ∑
y 2
j
λ j
.
1.3 Espaces et processus gaussiens
Dans ce paragraphe et le suivant, sauf indication du contraire, nous ne consid´ erons
que des variables gaussiennes centr´ ees et nous omettrons le plus souvent le mot
“centr´ e”.
D´ efinition 1.1. Un espace gaussien (centr´ e) est un sous-espace vectoriel ferm´ e de
L 2 (Ω , F , P) form´ e de variables gaussiennes centr´ ees.
Par exemple, si X = (X 1 , . . . , X d ) est un vecteur gaussien centr´ e dans R d , l’espace
vectoriel engendr´ e par {X 1 , . . . , X d } est un espace gaussien.
D´ efinition 1.2. Soit (E, E ) un espace mesurable, et soit T un ensemble d’indices
quelconque. Un processus al´ eatoire (index´ e par T ) `
a valeurs dans E est une famille
(X t ) t∈T de variables al´ eatoires `
a valeurs dans E. Si on ne pr´ ecise pas (E, E ), on
supposera implicitement que E = R et E = B(R) est la tribu bor´ elienne de R.
1 Vecteurs et processus gaussiens
O = {u =
r
∑
j=1
α j ε j : a j < α j < b j , ∀1 ≤ j ≤ r},
on a P[X ∈ O] = ∏
r
j=1 P[a j < Y j < b j ] > 0. Cela suffit pour obtenir l’´ egalit´ e
supp P X = e.v.{ε 1 , . . . , ε r }.
Si r < d, puisque e.v.{ε 1 , . . . , ε r } est de mesure nulle, la loi de X est ´
etrang` ere
par rapport `
a la mesure de Lebesgue sur E. Si r = d, notons Y le vecteur al´ eatoire de
R d d´ efini par Y = (Y 1 , . . . ,Y d ) et remarquons que X est l’image de Y par la bijection
ϕ(y 1 , . . . , y d ) = ∑ y j ε j . Alors, en notant y = (y 1 , . . . , y d ),
E[g(X)] = E[g(ϕ(Y ))]
=
1
(2π) d/2
R d
g(ϕ(y)) exp
−
1
2
d
∑
j=1
y 2
j
λ j
dy 1 . . . dy d
λ 1 . . . λ d
=
1
(2π) d/2 √
det γ X
R d
g(ϕ(y)) exp(−
1
2
ϕ(y), γ
−1
X (ϕ(y))
) dy 1 . . . dy d
=
1
(2π) d/2 √
det γ X
E
g(x) exp(−
1
2
x, γ
−1
X (x)
) dx,
puisque la mesure de Lebesgue sur E est par d´ efinition l’image de la mesure de
Lebesgue sur R d par ϕ (ou par n’importe quelle autre isom´ etrie de R d sur E). Pour
la deuxi` eme ´
egalit´ e, on a utilis´ e le fait que Y 1 , . . . ,Y d sont des variables gaussiennes
N (0, λ j ) ind´ ependantes, et pour la troisi` eme l’´ egalit´ e
ϕ(y), γ
−1
X (ϕ(y))
=
∑ y j ε j , ∑
y j
λ j
ε j
= ∑
y 2
j
λ j
.
1.3 Espaces et processus gaussiens
Dans ce paragraphe et le suivant, sauf indication du contraire, nous ne consid´ erons
que des variables gaussiennes centr´ ees et nous omettrons le plus souvent le mot
“centr´ e”.
D´ efinition 1.1. Un espace gaussien (centr´ e) est un sous-espace vectoriel ferm´ e de
L 2 (Ω , F , P) form´ e de variables gaussiennes centr´ ees.
Par exemple, si X = (X 1 , . . . , X d ) est un vecteur gaussien centr´ e dans R d , l’espace
vectoriel engendr´ e par {X 1 , . . . , X d } est un espace gaussien.
D´ efinition 1.2. Soit (E, E ) un espace mesurable, et soit T un ensemble d’indices
quelconque. Un processus al´ eatoire (index´ e par T ) `
a valeurs dans E est une famille
(X t ) t∈T de variables al´ eatoires `
a valeurs dans E. Si on ne pr´ ecise pas (E, E ), on
supposera implicitement que E = R et E = B(R) est la tribu bor´ elienne de R.