Appendice A2. Martingales discr` etes
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Y S ≥ E[Y T | G S ].
Nous terminons avec une variante du th´ eor` eme de convergence pour les surmartingales discr` etes, concernant le cas r´ etrograde. On se donne une filtration
r´ etrograde, c’est-` a-dire une famille croissante de sous-tribus (H n ) n∈−N index´ ee par
les entiers n´ egatifs (de telle sorte que la tribu H n est “de plus en plus petite” quand
n → −∞). Une famille (Y n ) n∈−N de variables al´ eatoires int´ egrables, index´ ee aussi
par les entiers n´ egatifs, est une surmartingale r´ etrograde si, pour tout n ∈ −N, Y n est
H n -mesurable et si, pour tous −∞ < m ≤ n ≤ 0, E[Y n | H m ] ≤ Y m .
Th´ eor` eme de convergence pour les surmartingales discr` etes r´ etrogrades. Si
(Y n ) n∈−N est une surmartingale r´ etrograde, et si la suite (Y n ) n∈−N est born´ ee dans
L 1 , alors la suite (Y n ) n∈−N converge p.s. et dans L 1 quand n → −∞.
Il est crucial pour les applications d´ evelopp´ ees dans le Chapitre 3 que la convergence ait aussi lieu dans L 1 dans le cas r´ etrograde (comparer avec le th´ eor` eme
analogue dans le cas “direct”).
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Y S ≥ E[Y T | G S ].
Nous terminons avec une variante du th´ eor` eme de convergence pour les surmartingales discr` etes, concernant le cas r´ etrograde. On se donne une filtration
r´ etrograde, c’est-` a-dire une famille croissante de sous-tribus (H n ) n∈−N index´ ee par
les entiers n´ egatifs (de telle sorte que la tribu H n est “de plus en plus petite” quand
n → −∞). Une famille (Y n ) n∈−N de variables al´ eatoires int´ egrables, index´ ee aussi
par les entiers n´ egatifs, est une surmartingale r´ etrograde si, pour tout n ∈ −N, Y n est
H n -mesurable et si, pour tous −∞ < m ≤ n ≤ 0, E[Y n | H m ] ≤ Y m .
Th´ eor` eme de convergence pour les surmartingales discr` etes r´ etrogrades. Si
(Y n ) n∈−N est une surmartingale r´ etrograde, et si la suite (Y n ) n∈−N est born´ ee dans
L 1 , alors la suite (Y n ) n∈−N converge p.s. et dans L 1 quand n → −∞.
Il est crucial pour les applications d´ evelopp´ ees dans le Chapitre 3 que la convergence ait aussi lieu dans L 1 dans le cas r´ etrograde (comparer avec le th´ eor` eme
analogue dans le cas “direct”).