170
Appendice A2. Martingales discr` etes
Si Y = (Y n ) n∈N est une suite de variables al´ eatoires r´ eelles, et a < b, le nombre de
mont´ ees de Y le long de [a, b] avant l’instant n, not´ e M Y
ab (n) est le plus grand entier
k tel que l’on puisse trouver une suite croissante m 1 < n 1 < · · · < m k < n k d’entiers
positifs inf´ erieurs ou ´
egaux `
a n tels que Y m i < a, Y n i > b, pour tout i ∈ {1, . . . , k}.
In´ egalit´ e des nombres de mont´ ees de Doob. Si (Y n ) n∈N est une surmartingale,
alors pour tout n ∈ N et tous a < b,
E[M
Y
ab (n)] ≤
1
b − a
E[(Y n − a)
− ].
Cette in´ egalit´ e est un outil essentiel pour montrer les th´ eor` emes de convergence
pour les martingales et surmartingales discr` etes, dont nous rappelons deux cas importants.
Th´ eor` eme de convergence pour les surmartingales discr` etes. Si (Y n ) n∈N est une
surmartingale, et si la suite (Y n ) n∈N est born´ ee dans L 1 , alors il existe une variable
Y ∞ ∈ L 1 telle que
Y n
p.s.
−→
n→∞
Y ∞ .
Th´ eor` eme de convergence pour les martingales discr` etes ferm´ ees. Soit (Y n ) n∈N
une martingale. Il y a ´
equivalence entre :
(i) La martingale (Y n ) n∈N est ferm´ ee, au sens o` u il existe Z ∈ L 1 (Ω , F , P) telle que
Y n = E[Z | G n ] pour tout n ∈ N.
(ii) La suite (Y n ) n∈N converge p.s. et dans L 1 vers une variable not´ ee Y ∞ .
(iii) La suite (Y n ) n∈N est uniform´ ement int´ egrable.
Si ces propri´ et´ es sont v´ erifi´ ees, la limite de la suite (Y n ) n∈N est Y ∞ = E[Z | G ∞ ].
Nous rappelons maintenant deux versions du th´ eor` eme d’arrˆ et dans le cas discret.
Un temps d’arrˆ et (discret) est une variable al´ eatoire T `
a valeurs dans N ∪ {∞}, telle
que {T = n} ∈ G n pour tout n ∈ N. La tribu du pass´ e avant T est G T = {A ∈ G ∞ :
A ∩ {T = n} ∈ G n , pour tout n ∈ N}.
Th´ eor` eme d’arrˆ et pour les martingales discr` etes ferm´ ees. Soit (Y n ) n∈N une martingale ferm´ ee, et notons Y ∞ la limite (p.s. et dans L 1 ) de Y n quand n → ∞. Alors
pour tout choix des temps d’arrˆ et S et T tels que S ≤ T , on a Y T ∈ L 1 et
Y S = E[Y T | G S ]
avec la convention que Y T = Y ∞ sur l’ensemble {T = ∞}, et de mˆ eme pour Y S .
Th´ eor` eme d’arrˆ et pour les surmartingales discr` etes (cas born´ e). Si (Y n ) n∈N est
une surmartingale, alors pour tout choix des temps d’arrˆ et S et T born´ es et tels que
S ≤ T , on a
Remarque. Cette inégalité n’a d’intérêt que si E[|Y k | p ]<∞, sans quoi les deux
sont infinis.
côtés
Appendice A2. Martingales discr` etes
Si Y = (Y n ) n∈N est une suite de variables al´ eatoires r´ eelles, et a < b, le nombre de
mont´ ees de Y le long de [a, b] avant l’instant n, not´ e M Y
ab (n) est le plus grand entier
k tel que l’on puisse trouver une suite croissante m 1 < n 1 < · · · < m k < n k d’entiers
positifs inf´ erieurs ou ´
egaux `
a n tels que Y m i < a, Y n i > b, pour tout i ∈ {1, . . . , k}.
In´ egalit´ e des nombres de mont´ ees de Doob. Si (Y n ) n∈N est une surmartingale,
alors pour tout n ∈ N et tous a < b,
E[M
Y
ab (n)] ≤
1
b − a
E[(Y n − a)
− ].
Cette in´ egalit´ e est un outil essentiel pour montrer les th´ eor` emes de convergence
pour les martingales et surmartingales discr` etes, dont nous rappelons deux cas importants.
Th´ eor` eme de convergence pour les surmartingales discr` etes. Si (Y n ) n∈N est une
surmartingale, et si la suite (Y n ) n∈N est born´ ee dans L 1 , alors il existe une variable
Y ∞ ∈ L 1 telle que
Y n
p.s.
−→
n→∞
Y ∞ .
Th´ eor` eme de convergence pour les martingales discr` etes ferm´ ees. Soit (Y n ) n∈N
une martingale. Il y a ´
equivalence entre :
(i) La martingale (Y n ) n∈N est ferm´ ee, au sens o` u il existe Z ∈ L 1 (Ω , F , P) telle que
Y n = E[Z | G n ] pour tout n ∈ N.
(ii) La suite (Y n ) n∈N converge p.s. et dans L 1 vers une variable not´ ee Y ∞ .
(iii) La suite (Y n ) n∈N est uniform´ ement int´ egrable.
Si ces propri´ et´ es sont v´ erifi´ ees, la limite de la suite (Y n ) n∈N est Y ∞ = E[Z | G ∞ ].
Nous rappelons maintenant deux versions du th´ eor` eme d’arrˆ et dans le cas discret.
Un temps d’arrˆ et (discret) est une variable al´ eatoire T `
a valeurs dans N ∪ {∞}, telle
que {T = n} ∈ G n pour tout n ∈ N. La tribu du pass´ e avant T est G T = {A ∈ G ∞ :
A ∩ {T = n} ∈ G n , pour tout n ∈ N}.
Th´ eor` eme d’arrˆ et pour les martingales discr` etes ferm´ ees. Soit (Y n ) n∈N une martingale ferm´ ee, et notons Y ∞ la limite (p.s. et dans L 1 ) de Y n quand n → ∞. Alors
pour tout choix des temps d’arrˆ et S et T tels que S ≤ T , on a Y T ∈ L 1 et
Y S = E[Y T | G S ]
avec la convention que Y T = Y ∞ sur l’ensemble {T = ∞}, et de mˆ eme pour Y S .
Th´ eor` eme d’arrˆ et pour les surmartingales discr` etes (cas born´ e). Si (Y n ) n∈N est
une surmartingale, alors pour tout choix des temps d’arrˆ et S et T born´ es et tels que
S ≤ T , on a
Remarque. Cette inégalité n’a d’intérêt que si E[|Y k | p ]<∞, sans quoi les deux
sont infinis.
côtés