Appendice A2. Martingales discr` etes
Dans cet appendice, nous rappelons sans d´ emonstration, pour la commodit´ e du
lecteur, les r´ esultats sur les martingales et surmartingales `
a temps discret qui sont
utilis´ es dans le Chapitre 3. La preuve de tous les ´
enonc´ es qui suivent peut ˆ
etre
trouv´ ee dans le Chapitre V du trait´ e classique de Dellacherie et Meyer [2], et dans
beaucoup d’autres ouvrages traitant des martingales discr` etes (voir en particulier
Neveu [8]).
Commenc ¸ons par rappeler la d´ efinition. On se place sur un espace de probabilit´ e
(Ω , F , P), et on fixe une filtration discr` ete, i.e. une famille croissante (G n ) n∈N de
sous-tribus de F . On note aussi
G ∞ =
∞
n=0
G n
la plus petite tribu qui contient toutes les sous-tribus G n .
Ces notions d´ ependent bien sˆ ur de la filtration (G n ) n∈N , qui est fix´ ee dans la suite.
In´ egalit´ e maximale. Si (Y n ) n∈N est une surmartingale, alors, pour tout λ > 0 et
tout k ∈ N,
λ P
sup
n≤k
|Y n | > λ
≤ E[|Y 0 |] + 2E[|Y k |].
In´ egalit´ e de Doob dans L p . Si (Y n ) n∈N est une martingale, alors pour tout k ∈ N et
tout p > 1,
E
sup
0≤n≤k
|Y n |
p
≤
p
p − 1
p
E[|Y k |
p ].
169
J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Définition. Une suite (Y n ) n ∈ N de variables aléatoires intégrables, telle que, pour
tout n ∈ N, Y n est G n -mesurable, est appelée
· martingale si, pour tous 0 ≤ m
Dans cet appendice, nous rappelons sans d´ emonstration, pour la commodit´ e du
lecteur, les r´ esultats sur les martingales et surmartingales `
a temps discret qui sont
utilis´ es dans le Chapitre 3. La preuve de tous les ´
enonc´ es qui suivent peut ˆ
etre
trouv´ ee dans le Chapitre V du trait´ e classique de Dellacherie et Meyer [2], et dans
beaucoup d’autres ouvrages traitant des martingales discr` etes (voir en particulier
Neveu [8]).
Commenc ¸ons par rappeler la d´ efinition. On se place sur un espace de probabilit´ e
(Ω , F , P), et on fixe une filtration discr` ete, i.e. une famille croissante (G n ) n∈N de
sous-tribus de F . On note aussi
G ∞ =
∞
n=0
G n
la plus petite tribu qui contient toutes les sous-tribus G n .
Ces notions d´ ependent bien sˆ ur de la filtration (G n ) n∈N , qui est fix´ ee dans la suite.
In´ egalit´ e maximale. Si (Y n ) n∈N est une surmartingale, alors, pour tout λ > 0 et
tout k ∈ N,
λ P
sup
n≤k
|Y n | > λ
≤ E[|Y 0 |] + 2E[|Y k |].
In´ egalit´ e de Doob dans L p . Si (Y n ) n∈N est une martingale, alors pour tout k ∈ N et
tout p > 1,
E
sup
0≤n≤k
|Y n |
p
≤
p
p − 1
p
E[|Y k |
p ].
169
J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Définition. Une suite (Y n ) n ∈ N de variables aléatoires intégrables, telle que, pour
tout n ∈ N, Y n est G n -mesurable, est appelée
· martingale si, pour tous 0 ≤ m