168
Appendice A1. Lemme de classe monotone
M A = {B ∈ M (C ) : A ∩ B ∈ M (C )}.
Fixons d’abord A ∈ C . Puisque C est stable par intersections finies, il est clair que
C ⊂ M A . V´ erifions ensuite que M A est une classe monotone:
• E ∈ M A est imm´ ediat.
• Si B, B ∈ M A et B ⊂ B , on a A ∩ (B \B) = (A ∩ B )\(A ∩ B) ∈ M (C ) et donc
B \B ∈ M A .
• Si B n ∈ M A pour tout n et la suite B n croˆ ıt, on a A∩(∪B n ) = ∪(A∩B n ) ∈ M (C )
et donc ∪B n ∈ M A .
Puisque M A est une classe monotone qui contient C , M A contient aussi M (C ). On
a donc montr´ e
∀A ∈ C , ∀B ∈ M (C ), A ∩ B ∈ M (C ).
Ce n’est pas encore le r´ esultat recherch´ e, mais on peut appliquer la mˆ eme
id´ ee une seconde fois. Pr´ ecis´ ement, on prend maintenant A ∈ M (C ). D’apr` es la
premi` ere ´
etape de la preuve, C ⊂ M A . En reprenant exactement les mˆ emes arguments que dans la premi` ere ´
etape, on obtient que M A est une classe monotone. Il en
d´ ecoule que M (C ) ⊂ M A , ce qui montre bien que M (C ) est stable par intersections finies et termine la preuve.
Voici quelques cons´ equences du Lemme de classe monotone qui sont utilis´ ees
dans ce cours :
1. Soit A une tribu sur E et soient µ et ν deux mesures de probabilit´ e sur (E, A ).
Supposons qu’il existe une classe C ⊂ A stable par intersections finies, telle que
σ (C ) = A et µ(A) = ν(A) pour tout A ∈ C . Alors µ = ν. (On utilise le fait que
G := {A ∈ A : µ(A) = ν(A)} est une classe monotone.)
2. Soit (X i ) i∈I une famille quelconque de variables al´ eatoires et soit G une soustribu sur le mˆ eme espace de probabilit´ e. Pour montrer que les tribus σ (X i , i ∈ I)
et G sont ind´ ependantes, il suffit d’´ etablir que (X i 1 , . . . , X i p ) est ind´ ependant de G ,
pour tout choix de la sous-famille finie {i 1 , . . . , i p } ⊂ I. (Observer que la classe
des ´
ev´ enements qui d´ ependent d’un nombre fini des variables X i , i ∈ I est stable
par intersection finie et engendre σ (X i , i ∈ I).)
Cette derni` ere cons´ equence est utile dans la th´ eorie des processus de Markov.
3. Soit (X i ) i ∈ I une famille quelconque de variables aléatoires et soit Z une variable
aléatoire réelle bornée. Soit aussi i 0 ∈ I . Pour voir que E[Z | X i , i ∈ I ]=E[Z | X i 0 ],
il suffit de montrer qu’on a E[Z | X i 0 , X i 1 , . . . , X i p ]=E[Z | X i 0 ] pour tout choix
de la sous-famille finie {i 1 , . . . , i p } ⊂ I . (Observer que la classe des événements
A tels que E[1 A Z ]=E[1 A E[Z | X i 0 ]] est une classe monotone.)
Appendice A1. Lemme de classe monotone
M A = {B ∈ M (C ) : A ∩ B ∈ M (C )}.
Fixons d’abord A ∈ C . Puisque C est stable par intersections finies, il est clair que
C ⊂ M A . V´ erifions ensuite que M A est une classe monotone:
• E ∈ M A est imm´ ediat.
• Si B, B ∈ M A et B ⊂ B , on a A ∩ (B \B) = (A ∩ B )\(A ∩ B) ∈ M (C ) et donc
B \B ∈ M A .
• Si B n ∈ M A pour tout n et la suite B n croˆ ıt, on a A∩(∪B n ) = ∪(A∩B n ) ∈ M (C )
et donc ∪B n ∈ M A .
Puisque M A est une classe monotone qui contient C , M A contient aussi M (C ). On
a donc montr´ e
∀A ∈ C , ∀B ∈ M (C ), A ∩ B ∈ M (C ).
Ce n’est pas encore le r´ esultat recherch´ e, mais on peut appliquer la mˆ eme
id´ ee une seconde fois. Pr´ ecis´ ement, on prend maintenant A ∈ M (C ). D’apr` es la
premi` ere ´
etape de la preuve, C ⊂ M A . En reprenant exactement les mˆ emes arguments que dans la premi` ere ´
etape, on obtient que M A est une classe monotone. Il en
d´ ecoule que M (C ) ⊂ M A , ce qui montre bien que M (C ) est stable par intersections finies et termine la preuve.
Voici quelques cons´ equences du Lemme de classe monotone qui sont utilis´ ees
dans ce cours :
1. Soit A une tribu sur E et soient µ et ν deux mesures de probabilit´ e sur (E, A ).
Supposons qu’il existe une classe C ⊂ A stable par intersections finies, telle que
σ (C ) = A et µ(A) = ν(A) pour tout A ∈ C . Alors µ = ν. (On utilise le fait que
G := {A ∈ A : µ(A) = ν(A)} est une classe monotone.)
2. Soit (X i ) i∈I une famille quelconque de variables al´ eatoires et soit G une soustribu sur le mˆ eme espace de probabilit´ e. Pour montrer que les tribus σ (X i , i ∈ I)
et G sont ind´ ependantes, il suffit d’´ etablir que (X i 1 , . . . , X i p ) est ind´ ependant de G ,
pour tout choix de la sous-famille finie {i 1 , . . . , i p } ⊂ I. (Observer que la classe
des ´
ev´ enements qui d´ ependent d’un nombre fini des variables X i , i ∈ I est stable
par intersection finie et engendre σ (X i , i ∈ I).)
Cette derni` ere cons´ equence est utile dans la th´ eorie des processus de Markov.
3. Soit (X i ) i ∈ I une famille quelconque de variables aléatoires et soit Z une variable
aléatoire réelle bornée. Soit aussi i 0 ∈ I . Pour voir que E[Z | X i , i ∈ I ]=E[Z | X i 0 ],
il suffit de montrer qu’on a E[Z | X i 0 , X i 1 , . . . , X i p ]=E[Z | X i 0 ] pour tout choix
de la sous-famille finie {i 1 , . . . , i p } ⊂ I . (Observer que la classe des événements
A tels que E[1 A Z ]=E[1 A E[Z | X i 0 ]] est une classe monotone.)