J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Appendice A1. Lemme de classe monotone
Le lemme de classe monotone est un outil de th´ eorie de la mesure tr` es utile dans de
nombreux raisonnements de th´ eorie des probabilit´ es. Nous en donnons ici la version
qui est utilis´ ee en de nombreux endroits dans ce cours.
Soit E un ensemble quelconque, et soit P(E) l’ensemble de toutes les parties de
E. Si C ⊂ P(E), σ (C ) d´ esigne la plus petite tribu sur E contenant C (c’est aussi
l’intersection de toutes les tribus contenant C ).
D´ efinition. Un sous-ensemble M de P(E) est appel´ e classe monotone si :
(i) E ∈ M .
(ii) Si A, B ∈ M et A ⊂ B, alors B\A ∈ M .
(iii) Si on se donne une suite croissante (A n ) n∈N telle que A n ∈ M pour tout
n ∈ N, alors
n∈N
A n ∈ M .
Toute tribu est aussi une classe monotone. Comme dans le cas des tribus, on voit
imm´ ediatement que toute intersection de classes monotones est encore une classe
monotone. Si C est une partie quelconque de P(E), on peut donc d´ efinir la classe
monotone engendr´ ee par C , not´ ee M (C ), en posant
M (C ) =
M classe monotone, C ⊂M
M .
Lemme de classe monotone. Si C ⊂ P(E) est stable par intersections finies, alors
M (C ) = σ (C ).
D´ emonstration. Puisque toute tribu est une classe monotone, il est clair qu’on a
M (C ) ⊂ σ (C ). Pour ´
etablir l’inclusion inverse, il suffit de montrer que M (C ) est
une tribu. Or une classe monotone est une tribu si et seulement si elle est stable par
intersections finies (en effet, par passage au compl´ ementaire, elle sera alors stable
par r´ eunion finies, puis par passage `
a la limite croissant par r´ eunion d´ enombrable).
Montrons donc que M (C ) est stable par intersections finies.
Posons pour tout A ∈ P(E),
167
Math¯matiques et Applications
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Appendice A1. Lemme de classe monotone
Le lemme de classe monotone est un outil de th´ eorie de la mesure tr` es utile dans de
nombreux raisonnements de th´ eorie des probabilit´ es. Nous en donnons ici la version
qui est utilis´ ee en de nombreux endroits dans ce cours.
Soit E un ensemble quelconque, et soit P(E) l’ensemble de toutes les parties de
E. Si C ⊂ P(E), σ (C ) d´ esigne la plus petite tribu sur E contenant C (c’est aussi
l’intersection de toutes les tribus contenant C ).
D´ efinition. Un sous-ensemble M de P(E) est appel´ e classe monotone si :
(i) E ∈ M .
(ii) Si A, B ∈ M et A ⊂ B, alors B\A ∈ M .
(iii) Si on se donne une suite croissante (A n ) n∈N telle que A n ∈ M pour tout
n ∈ N, alors
n∈N
A n ∈ M .
Toute tribu est aussi une classe monotone. Comme dans le cas des tribus, on voit
imm´ ediatement que toute intersection de classes monotones est encore une classe
monotone. Si C est une partie quelconque de P(E), on peut donc d´ efinir la classe
monotone engendr´ ee par C , not´ ee M (C ), en posant
M (C ) =
M classe monotone, C ⊂M
M .
Lemme de classe monotone. Si C ⊂ P(E) est stable par intersections finies, alors
M (C ) = σ (C ).
D´ emonstration. Puisque toute tribu est une classe monotone, il est clair qu’on a
M (C ) ⊂ σ (C ). Pour ´
etablir l’inclusion inverse, il suffit de montrer que M (C ) est
une tribu. Or une classe monotone est une tribu si et seulement si elle est stable par
intersections finies (en effet, par passage au compl´ ementaire, elle sera alors stable
par r´ eunion finies, puis par passage `
a la limite croissant par r´ eunion d´ enombrable).
Montrons donc que M (C ) est stable par intersections finies.
Posons pour tout A ∈ P(E),
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