7 Exercices
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4. D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que
lim
n→∞
E
sup
s≤T
(X
n
s − X s )
2
= 0.
Exercice 7.5. Soit β = (β t ) t≥0 un mouvement brownien r´ eel issu de 0. On fixe deux
param` etres r´ eels α et r, avec α > 1/2 et r > 0. Pour tout entier n ≥ 1 et tout x ∈ R,
on pose
f n (x) =
1
|x|
∧ n .
1. Soit n ≥ 1. Justifier l’existence d’une unique semimartingale Z n qui v´ erifie
l’´ equation
Z
n
t = r + β t + α
t
0
f n (Z
n
s ) ds.
2. On pose S n = inf{t ≥ 0 : Z n
t ≤ 1/n}. En observant que, si t ≤ S n ∧ S n+1 ,
Z
n+1
t
− Z
n
t = α
t
0
1
Z
n+1
s
−
1
Z n
s
ds ,
et `
a l’aide du lemme de Gronwall, montrer que Z
n+1
t
= Z n
t pour tout t ∈ [0, S n ∧S n+1 ],
p.s. En d´ eduire que S n+1 ≥ S n .
3. Soit g une fonction de classe C 2 sur R. Montrer que le processus
g(Z
n
t ) − g(r) −
t
0
αg
(Z
n
s ) f n (Z
n
s ) +
1
2
g
(Z
n
s )
ds
est une martingale locale.
4. On pose h(x) = x 1−2α pour tout x > 0. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, h(Z n
t∧S n
)
est une martingale born´ ee. En d´ eduire que, pour tout t ≥ 0, P(S n ≤ t) tend vers 0
quand n → ∞, et en cons´ equence S n → ∞ p.s. quand n → ∞.
5. D´ eduire des questions 2. et 4. qu’il existe un unique processus Z dont les trajectoires sont continues et `
a valeurs dans ]0, ∞[, tel que pour tout t ≥ 0,
Z t = r + β t + α
t
0
ds
Z s
.
6. On note T a = inf{t ≥ 0 : Z t = a}, pour tout a > 0. Calculer P(T a < T b ) pour
0 < a < r < b.
7. Soit B un mouvement brownien en dimension d ≥ 3, issu de y ∈ R d \{0}. Montrer
que Y t = |B t | v´ erifie l’´ equation stochastique apparue dans la question 6. (avec un
choix convenable de β ) pour r = |y| et α = (d − 1)/2. On pourra utiliser l’Exercice
5.9.
Exercice 7.6. (Crit` ere d’unicit´ e de Yamada-Watanabe) Le but de l’exercice est de
montrer l’unicit´ e trajectorielle pour l’´ equation diff´ erentielle stochastique (not´ ee
E(σ , b) comme ci-dessus) en dimension un