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7 Exercices
et que les processus X x sont des processus de Markov `
a valeurs dans R + , de mˆ eme
semigroupe (Q t ) t≥0 , relativement `
a la filtration (F t ). (Ce r´ esultat est ´
evidemment
tr` es proche du Th´ eor` eme 7.3, qu’on ne peut cependant appliquer car la fonction
√
2x
n’est pas lipschitzienne.)
1. On fixe x ∈ R + , et un r´ eel T > 0. On pose pour tout t ∈ [0, T ]
M t = exp
−
λ X t
1 + λ (T − t)
.
Montrer que le processus (M t∧T ) t≥0 est une martingale.
2. Montrer que (Q t ) t≥0 est le semigroupe de la diffusion branchante de Feller (voir
la fin du Chapitre 6).
Exercice 7.4. On consid` ere deux suites de fonctions (σ n ) n≥1 et (b n ) n≥1 d´ efinies sur
R et `
a valeurs dans R. On suppose que :
(i) Il existe une constante C > 0 telle que |σ n (x)| ≤ C et |b n (x)| ≤ C pour tous n ≥ 1
et x ∈ R.
(ii) Il existe une constante K > 0 telle que, pour tous n ≥ 1 et x, y ∈ R,
|σ n (x) − σ n (y)| ≤ K|x − y| , |b n (x) − b n (y)| ≤ K|x − y|.
1. Justifier l’existence pour chaque n ≥ 1 d’un processus adapt´ e `
a trajectoires continues X n = (X n
t ) t≥0 qui v´ erifie
X
n
t =
t
0
σ n (X
n
s ) dB s +
t
0
b n (X
n
s ) ds.
2. Soit T > 0. Montrer l’existence d’une constante A > 0 telle que, pour tout r´ eel
M > 2CT et pour tout n ≥ 1,
P
sup
t≤T
|X
n
t | ≥ M
≤
A
M 2 .
3. On suppose que les suites (σ n ) et (b n ) convergent uniform´ ement sur tout compact
de R vers des fonctions limites not´ ees σ et b respectivement. Justifier rapidement
l’existence d’un processus adapt´ e `
a trajectoires continues X = (X t ) t≥0 qui v´ erifie
X t =
t
0
σ (X s ) dB s +
t
0
b(X s ) ds,
puis montrer l’existence d’une constante A telle que, pour tout r´ eel M > 2CT , pour
tout t ∈ [0, T ] et tout n ≥ 1,
E
sup
s≤t
(X
n
s − X s )
2
≤ 4(4 + T )K
2
t
0
E[(X
n
s − X s )
2 ] ds +
A
M 2
+4T
4 sup
|x|≤M
(σ n (x) − σ (x))
2 + T sup
|x|≤M
(b n (x) − b(x))
2
.