7 Exercices
163
Exercices
Exercice 7.1. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle stochastique
E(σ , 0)
dX t = σ (X t ) dB t
o` u la fonction σ : R −→ R est continue et telle qu’il existe deux constantes ε > 0 et
M telles que ε ≤ σ ≤ M.
1. Dans cette question et la suivante, on suppose que X est une solution de E(σ , 0)
avec X 0 = x. On pose, pour tout t ≥ 0,
A t =
t
0
σ (X s )
2 ds , τ s = inf{s ≥ 0 : A s > t}.
Justifier les ´
egalit´ es
τ t =
t
0
dr
σ (X τ r ) 2 , A t = inf{s ≥ 0 :
s
0
dr
σ (X τ r ) 2 > t}.
2. Montrer qu’il existe un mouvement brownien r´ eel issu de x, not´ e β = (β t ) t≥0 , tel
que, p.s. pour tout t ≥ 0,
X t = β inf{s≥0:
s
0 σ (β r ) −2 dr>t} .
3. Montrer qu’il y a existence et unicit´ e faibles pour E(σ , 0) (pour l’existence, on
pourra observer que si X est d´ efini `
a partir d’un mouvement brownien β par la
formule de la question 2., X est dans une filtration appropri´ ee une martingale de
variation quadratique X, X t =
t
0 σ (X s ) 2 ds).
Exercice 7.2. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle stochastique
E(σ , b)
dX t = σ (X t ) dB t + b(X t ) dt
o` u les fonctions σ , b : R −→ R sont continues et born´ ees et telles que
R |b(x)|dx <
∞ et σ ≥ ε pour une constante ε > 0.
1. Soir X une solution de E(σ , b). Montrer qu’il existe une fonction F : R −→
R strictement croissante de classe C 2 telle que F(X t ) soit une martingale. On
d´ eterminera une formule explicite pour F en termes de σ et b.
2. Montrer que le processus Y t = F(X t ) satisfait une ´
equation diff´ erentielle stochastique de la forme dY t = σ (Y t ) dB t , avec une fonction σ que l’on d´ eterminera.
3. En utilisant le r´ esultat de l’exercice pr´ ec´ edent, montrer qu’il y a existence et
unicit´ e faibles pour E(σ , b). Montrer qu’il y a unicit´ e trajectorielle si de plus σ est
lipschitzienne.
Exercice 7.3. On admet que pour tout x ∈ R + , on peut construire sur le mˆ eme espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) un processus X x `
a valeurs positives qui est
solution de l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t =
√
2X t dB t
X 0 = x
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Exercice 7.1. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle stochastique
E(σ , 0)
dX t = σ (X t ) dB t
o` u la fonction σ : R −→ R est continue et telle qu’il existe deux constantes ε > 0 et
M telles que ε ≤ σ ≤ M.
1. Dans cette question et la suivante, on suppose que X est une solution de E(σ , 0)
avec X 0 = x. On pose, pour tout t ≥ 0,
A t =
t
0
σ (X s )
2 ds , τ s = inf{s ≥ 0 : A s > t}.
Justifier les ´
egalit´ es
τ t =
t
0
dr
σ (X τ r ) 2 , A t = inf{s ≥ 0 :
s
0
dr
σ (X τ r ) 2 > t}.
2. Montrer qu’il existe un mouvement brownien r´ eel issu de x, not´ e β = (β t ) t≥0 , tel
que, p.s. pour tout t ≥ 0,
X t = β inf{s≥0:
s
0 σ (β r ) −2 dr>t} .
3. Montrer qu’il y a existence et unicit´ e faibles pour E(σ , 0) (pour l’existence, on
pourra observer que si X est d´ efini `
a partir d’un mouvement brownien β par la
formule de la question 2., X est dans une filtration appropri´ ee une martingale de
variation quadratique X, X t =
t
0 σ (X s ) 2 ds).
Exercice 7.2. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle stochastique
E(σ , b)
dX t = σ (X t ) dB t + b(X t ) dt
o` u les fonctions σ , b : R −→ R sont continues et born´ ees et telles que
R |b(x)|dx <
∞ et σ ≥ ε pour une constante ε > 0.
1. Soir X une solution de E(σ , b). Montrer qu’il existe une fonction F : R −→
R strictement croissante de classe C 2 telle que F(X t ) soit une martingale. On
d´ eterminera une formule explicite pour F en termes de σ et b.
2. Montrer que le processus Y t = F(X t ) satisfait une ´
equation diff´ erentielle stochastique de la forme dY t = σ (Y t ) dB t , avec une fonction σ que l’on d´ eterminera.
3. En utilisant le r´ esultat de l’exercice pr´ ec´ edent, montrer qu’il y a existence et
unicit´ e faibles pour E(σ , b). Montrer qu’il y a unicit´ e trajectorielle si de plus σ est
lipschitzienne.
Exercice 7.3. On admet que pour tout x ∈ R + , on peut construire sur le mˆ eme espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) un processus X x `
a valeurs positives qui est
solution de l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t =
√
2X t dB t
X 0 = x