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7 Equations diff´ erentielles stochastiques
dimension un des r´ esultats plus fins que ceux du cadre lipschitzien, qui permettent
d’obtenir l’existence et l’unicit´ e trajectorielle des solutions de (7.5) : voir l’Exercice
7.6 pour un crit` ere d’unicit´ e trajectorielle qui s’applique `
a (7.5).
L’int´ erˆ et des carr´ es de processus de Bessel vient en partie de l’observation suivante, qui est une cons´ equence simple de la formule d’Itˆ o. Si β = (β 1 , . . . , β d ) est
un mouvement brownien en dimension d, le processus
|β t |
2 = (β
1
t )
2 + · · · + (β
d
t )
2
est un carr´ e de processus de Bessel de dimension enti` ere m = d : voir l’Exercice
5.9. Par ailleurs, on peut aussi v´ erifier que lorque m = 0, le processus (
1
2 X t ) t≥0 n’est
autre que la diffusion branchante de Feller discut´ ee `
a la fin du chapitre pr´ ec´ edent
(voir l’Exercice 7.3).
Supposons `
a partir de maintenant que m ≥ 2 et X 0 = x > 0. Pour tout ε ≥ 0,
notons T ε := inf{t ≥ 0 : X t = ε}. Posons pour tout t ∈ [0, T 0 [,
M t =
(X t ) 1− m
2
si m > 2,
log(X t ) si m = 2.
On d´ eduit alors de la formule d’Itˆ o que, pour tout ε ∈]0, x[, M t∧T ε est une martingale
locale. Cette martingale locale est born´ ee sur l’intervalle [0, T ε ∧T A ], pour tout A > x,
et une application du th´ eor` eme d’arrˆ et montre que, si m > 2,
P(T ε < T A ) =
A 1− m
2 − x 1− m
2
A 1− m
2 − ε 1− m
2
et si m = 2,
P(T ε < T A ) =
log A − log x
log A − log ε
.
En particulier, en faisant tendre ε vers 0, on obtient que P(T 0 < ∞) = 0 (lorsque m est
un entier, cela correspond `
a la propri´ et´ e que le mouvement brownien en dimension
d ≥ 2 ne visite p.s. pas un point fix´ e autre que son point de d´ epart). Si on fait tendre
A vers ∞ dans les formules pr´ ec´ edentes, on obtient que P(T ε < ∞) = 1 si m = 2 et
P(T ε < ∞) = (ε/x) (m/2)−1 si m > 2. En prenant m = 2, on obtient la propri´ et´ e de
r´ ecurrence du mouvement brownien plan. Voir `
a nouveau l’Exercice 5.9.
Nous renvoyons au Chapitre XI de [9] pour une ´
etude d´ etaill´ ee des processus de
Bessel.
Remarque. Le processus de Bessel de dimension m est (bien ´
evidemment) obtenu
en prenant Y t =
√
X t , et lorsque m = d est un entier strictement positif il correspond
`
a la norme du mouvement brownien en dimension d. L’´ equation stochastique satisfaite par Y est cependant moins facile `
a manier que (7.5).
Il découle des remarques précédentes que le processus M t est bien défini pour
tout t ≥ 0 et est une martingale locale. On montre que cette martingale locale n’est
pas une vraie martingale (cf. question 8. de l’Exercice 5.9 dans le cas m=3).
7 Equations diff´ erentielles stochastiques
dimension un des r´ esultats plus fins que ceux du cadre lipschitzien, qui permettent
d’obtenir l’existence et l’unicit´ e trajectorielle des solutions de (7.5) : voir l’Exercice
7.6 pour un crit` ere d’unicit´ e trajectorielle qui s’applique `
a (7.5).
L’int´ erˆ et des carr´ es de processus de Bessel vient en partie de l’observation suivante, qui est une cons´ equence simple de la formule d’Itˆ o. Si β = (β 1 , . . . , β d ) est
un mouvement brownien en dimension d, le processus
|β t |
2 = (β
1
t )
2 + · · · + (β
d
t )
2
est un carr´ e de processus de Bessel de dimension enti` ere m = d : voir l’Exercice
5.9. Par ailleurs, on peut aussi v´ erifier que lorque m = 0, le processus (
1
2 X t ) t≥0 n’est
autre que la diffusion branchante de Feller discut´ ee `
a la fin du chapitre pr´ ec´ edent
(voir l’Exercice 7.3).
Supposons `
a partir de maintenant que m ≥ 2 et X 0 = x > 0. Pour tout ε ≥ 0,
notons T ε := inf{t ≥ 0 : X t = ε}. Posons pour tout t ∈ [0, T 0 [,
M t =
(X t ) 1− m
2
si m > 2,
log(X t ) si m = 2.
On d´ eduit alors de la formule d’Itˆ o que, pour tout ε ∈]0, x[, M t∧T ε est une martingale
locale. Cette martingale locale est born´ ee sur l’intervalle [0, T ε ∧T A ], pour tout A > x,
et une application du th´ eor` eme d’arrˆ et montre que, si m > 2,
P(T ε < T A ) =
A 1− m
2 − x 1− m
2
A 1− m
2 − ε 1− m
2
et si m = 2,
P(T ε < T A ) =
log A − log x
log A − log ε
.
En particulier, en faisant tendre ε vers 0, on obtient que P(T 0 < ∞) = 0 (lorsque m est
un entier, cela correspond `
a la propri´ et´ e que le mouvement brownien en dimension
d ≥ 2 ne visite p.s. pas un point fix´ e autre que son point de d´ epart). Si on fait tendre
A vers ∞ dans les formules pr´ ec´ edentes, on obtient que P(T ε < ∞) = 1 si m = 2 et
P(T ε < ∞) = (ε/x) (m/2)−1 si m > 2. En prenant m = 2, on obtient la propri´ et´ e de
r´ ecurrence du mouvement brownien plan. Voir `
a nouveau l’Exercice 5.9.
Nous renvoyons au Chapitre XI de [9] pour une ´
etude d´ etaill´ ee des processus de
Bessel.
Remarque. Le processus de Bessel de dimension m est (bien ´
evidemment) obtenu
en prenant Y t =
√
X t , et lorsque m = d est un entier strictement positif il correspond
`
a la norme du mouvement brownien en dimension d. L’´ equation stochastique satisfaite par Y est cependant moins facile `
a manier que (7.5).
Il découle des remarques précédentes que le processus M t est bien défini pour
tout t ≥ 0 et est une martingale locale. On montre que cette martingale locale n’est
pas une vraie martingale (cf. question 8. de l’Exercice 5.9 dans le cas m=3).