7.4 Quelques exemples d’´ equations diff´ erentielles stochastiques
161
1
2λ
e
−λ |t−s| .
Remarquons qu’il s’agit d’une fonction de covariance stationnaire. Le processus X
est donc dans ce cas `
a la fois un processus gaussien stationnaire et un processus de
Markov.
7.4.2 Le mouvement brownien g´ eom´ etrique
Soient σ > 0 et r ∈ R. On appelle mouvement brownien g´ eom´ etrique la solution de
l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = σ X t dB t + rX t dt.
La solution est `
a nouveau facile `
a obtenir `
a l’aide de la formule d’Itˆ o :
X t = X 0 exp
σ B t + (r −
σ 2
2
)t
.
Remarquons en particulier que, si la valeur initiale X 0 est strictement positive, la
solution le reste en tout temps t ≥ 0. Le mouvement brownien g´ eom´ etrique est utilis´ e
dans le c´ el` ebre mod` ele de Black et Scholes en math´ ematiques financi` eres. La raison
de l’apparition de ce processus tient `
a une hypoth` ese ´
economique d’ind´ ependance
des rendements successifs
X t 2 − X t 1
X t 1
,
X t 3 − X t 2
X t 2
, . . . ,
X t n − X t n−1
X t n−1
sur des intervalles de temps disjoints : sur la forme explicite de X t , on voit que
cette hypoth` ese correspond `
a la propri´ et´ e d’ind´ ependance des accroissements du
mouvement brownien.
7.4.3 Les processus de Bessel
Soit m ≥ 0 un r´ eel. On appelle carr´ e de processus de Bessel de dimension m un
processus `
a valeurs dans R + qui est solution de l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = 2
√
X t dB t + m dt .
(7.5)
Remarquons que cette ´
equation n’entre pas dans le cadre lipschitzien discut´ e dans
ce chapitre, parce que la fonction σ (x) = 2
√
x n’est pas lipschitzienne sur R + (on
pourrait aussi observer que cette fonction est d´ efinie seulement sur R + , mais il s’agit
d’un point mineur car on peut la remplacer par 2
|x| et v´ erifier a posteriori que la
solution partant d’une valeur initiale positive reste positive). Il existe cependant en
161
1
2λ
e
−λ |t−s| .
Remarquons qu’il s’agit d’une fonction de covariance stationnaire. Le processus X
est donc dans ce cas `
a la fois un processus gaussien stationnaire et un processus de
Markov.
7.4.2 Le mouvement brownien g´ eom´ etrique
Soient σ > 0 et r ∈ R. On appelle mouvement brownien g´ eom´ etrique la solution de
l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = σ X t dB t + rX t dt.
La solution est `
a nouveau facile `
a obtenir `
a l’aide de la formule d’Itˆ o :
X t = X 0 exp
σ B t + (r −
σ 2
2
)t
.
Remarquons en particulier que, si la valeur initiale X 0 est strictement positive, la
solution le reste en tout temps t ≥ 0. Le mouvement brownien g´ eom´ etrique est utilis´ e
dans le c´ el` ebre mod` ele de Black et Scholes en math´ ematiques financi` eres. La raison
de l’apparition de ce processus tient `
a une hypoth` ese ´
economique d’ind´ ependance
des rendements successifs
X t 2 − X t 1
X t 1
,
X t 3 − X t 2
X t 2
, . . . ,
X t n − X t n−1
X t n−1
sur des intervalles de temps disjoints : sur la forme explicite de X t , on voit que
cette hypoth` ese correspond `
a la propri´ et´ e d’ind´ ependance des accroissements du
mouvement brownien.
7.4.3 Les processus de Bessel
Soit m ≥ 0 un r´ eel. On appelle carr´ e de processus de Bessel de dimension m un
processus `
a valeurs dans R + qui est solution de l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = 2
√
X t dB t + m dt .
(7.5)
Remarquons que cette ´
equation n’entre pas dans le cadre lipschitzien discut´ e dans
ce chapitre, parce que la fonction σ (x) = 2
√
x n’est pas lipschitzienne sur R + (on
pourrait aussi observer que cette fonction est d´ efinie seulement sur R + , mais il s’agit
d’un point mineur car on peut la remplacer par 2
|x| et v´ erifier a posteriori que la
solution partant d’une valeur initiale positive reste positive). Il existe cependant en