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7 Equations diff´ erentielles stochastiques
mais seulement son action sur un sous-ensemble du domaine D(L) (comme nous
l’avons d´ ej` a observ´ e dans le chapitre pr´ ec´ edent, il est souvent difficile de donner
une description compl` ete du domaine). Cependant on peut montrer qu’une connaissance mˆ eme partielle du g´ en´ erateur, telle que celle donn´ ee par le Th´ eor` eme 7.4,
suffit `
a caract´ eriser la loi du processus : cette observation est `
a la base de la th´ eorie
puissante des probl` emes de martingales, d´ evelopp´ ee en particulier dans l’ouvrage
classique [11] de Stroock et Varadhan.
Au moins en restriction `
a C 2
c (R d ), le g´ en´ erateur L est un op´ erateur diff´ erentiel du
second ordre. L’´ equation diff´ erentielle stochastique E(σ , b) permet de donner une
approche ou une interpr´ etation probabiliste de nombreux r´ esultats analytiques concernant l’op´ erateur L. Ces liens entre probabilit´ es et analyse ont ´
et´ e une motivation
importante pour l’´ etude des ´
equations diff´ erentielles stochastiques.
7.4 Quelques exemples d’´ equations diff´ erentielles stochastiques
Dans cette section, nous discutons bri` evement trois exemples importants, tous en
dimension un. Dans les deux premiers, on peut obtenir une formule explicite pour
la solution, ce qui n’est ´
evidemment pas le cas en g´ en´ eral!
7.4.1 Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Soit λ > 0. Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck est obtenu comme solution de
l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = dB t − λ X t dt.
On r´ esout facilement cette ´
equation en appliquant la formule d’Itˆ o `
a e λt X t , et on
obtient
X t = X 0 e
−λt +
t
0
e
−λ (t−s) dB s .
Remarquons que l’int´ egrale stochastique obtenue est en fait une int´ egrale de Wiener,
qui appartient donc `
a l’espace gaussien engendr´ e par B.
Consid´ erons d’abord le cas o` u X 0 = x ∈ R. La remarque pr´ ec´ edente montre
alors que X est un processus gaussien (non centr´ e), dont la fonction de moyenne
est m(t) = E[X t ] = x e −λt , et dont on peut aussi calculer facilement la fonction de
covariance
K(s,t) = cov(X s , X t ) =
e −λ |t−s| − e −λ (t+s)
2λ
.
Il est aussi int´ eressant de consid´ erer le cas o` u X 0 suit une loi gaussienne N (0,
1
2λ ).
Dans ce cas, X est un processus gaussien centr´ e de fonction de covariance
7 Equations diff´ erentielles stochastiques
mais seulement son action sur un sous-ensemble du domaine D(L) (comme nous
l’avons d´ ej` a observ´ e dans le chapitre pr´ ec´ edent, il est souvent difficile de donner
une description compl` ete du domaine). Cependant on peut montrer qu’une connaissance mˆ eme partielle du g´ en´ erateur, telle que celle donn´ ee par le Th´ eor` eme 7.4,
suffit `
a caract´ eriser la loi du processus : cette observation est `
a la base de la th´ eorie
puissante des probl` emes de martingales, d´ evelopp´ ee en particulier dans l’ouvrage
classique [11] de Stroock et Varadhan.
Au moins en restriction `
a C 2
c (R d ), le g´ en´ erateur L est un op´ erateur diff´ erentiel du
second ordre. L’´ equation diff´ erentielle stochastique E(σ , b) permet de donner une
approche ou une interpr´ etation probabiliste de nombreux r´ esultats analytiques concernant l’op´ erateur L. Ces liens entre probabilit´ es et analyse ont ´
et´ e une motivation
importante pour l’´ etude des ´
equations diff´ erentielles stochastiques.
7.4 Quelques exemples d’´ equations diff´ erentielles stochastiques
Dans cette section, nous discutons bri` evement trois exemples importants, tous en
dimension un. Dans les deux premiers, on peut obtenir une formule explicite pour
la solution, ce qui n’est ´
evidemment pas le cas en g´ en´ eral!
7.4.1 Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Soit λ > 0. Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck est obtenu comme solution de
l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = dB t − λ X t dt.
On r´ esout facilement cette ´
equation en appliquant la formule d’Itˆ o `
a e λt X t , et on
obtient
X t = X 0 e
−λt +
t
0
e
−λ (t−s) dB s .
Remarquons que l’int´ egrale stochastique obtenue est en fait une int´ egrale de Wiener,
qui appartient donc `
a l’espace gaussien engendr´ e par B.
Consid´ erons d’abord le cas o` u X 0 = x ∈ R. La remarque pr´ ec´ edente montre
alors que X est un processus gaussien (non centr´ e), dont la fonction de moyenne
est m(t) = E[X t ] = x e −λt , et dont on peut aussi calculer facilement la fonction de
covariance
K(s,t) = cov(X s , X t ) =
e −λ |t−s| − e −λ (t+s)
2λ
.
Il est aussi int´ eressant de consid´ erer le cas o` u X 0 suit une loi gaussienne N (0,
1
2λ ).
Dans ce cas, X est un processus gaussien centr´ e de fonction de covariance