7.3 Les solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques comme processus de Markov
159
f (X
x
t ) = f (x) + M t +
d
∑
i=1
t
0
b i (X
x
s )
∂ f
∂ x i
(X
x
s )ds +
1
2
d
∑
i,i =1
t
0
∂ 2 f
∂ x i ∂ x i
(X
x
s )dX
x,i , X
x,i s
o` u M est une martingale locale. De plus, pour i, i ∈ {1, . . . , d},
dX
x,i , X
x,i s =
m
∑
j=1
σ i j (X
x
s )σ i j (X
x
s ) ds = (σ σ
∗ ) ii (X
x
s ) ds.
On voit ainsi que si g est la fonction d´ efinie par
g(x) =
1
2
d
∑
i,i =1
(σ σ
∗ ) ii (x)
∂ 2 f
∂ x i ∂ x i
(x) +
d
∑
i=1
b i (x)
∂ f
∂ x i
(x),
le processus
M t = f (X
x
t ) − f (x) −
t
0
g(X
x
s ) ds
est une martingale locale. Comme f et g sont born´ ees, la Proposition 4.3 (ii) montre
que M est une vraie martingale.
Consid´ erons maintenant le processus canonique (Z t ) t≥0 sur l’espace C(R + , R d )
et les mesures de probabilit´ e P x d´ efinies comme dans la remarque pr´ ec´ edant le
th´ eor` eme. Puisque P x est obtenue comme ´
etant la loi de X x , on d´ eduit de la propri´ et´ e analogue pour X x que, pour tout x ∈ R d ,
f (Z t ) −
t
0
g(Z s ) ds
est une martingale sous P x , relativement `
a la filtration canonique. Il d´ ecoule maintenant du Th´ eor` eme 6.2 que f ∈ D(L) et L f = g.
E[1 {T <∞} Φ(X T +t ,t ≥ 0) | F T ] = 1 {T <∞} E X T [Φ],
o` u, pour tout x ∈ R d , P x d´ esigne la loi sur C(R + , R d ) d’une solution arbitraire de
E x (σ , b).
D´ emonstration. Il suffit d’appliquer le Th´ eor` eme 6.5. Alternativement, on pourrait
aussi reprendre les arguments de la preuve du Th´ eor` eme 7.3, en faisant jouer au
temps d’arrˆ et T le rˆ ole jou´ e dans cette preuve par l’instant d´ eterministe s, et en
utilisant la propri´ et´ e de Markov forte du mouvement brownien.
On appelle parfois processus de diffusion un processus fortement markovien et `
a
trajectoires continues obtenu comme solution d’une ´
equation diff´ erentielle stochastique, comme dans le Th´ eor` eme 7.3. Mˆ eme dans le cadre lipschitzien consid´ er´ e
dans ce paragraphe, le Th´ eor` eme 7.4 n’identifie pas compl` etement le g´ en´ erateur L,
Corollaire 7.1. Supposons que (X t ) t ≥ 0 est une solution de E(σ, b) sur un espace
de probabilité filtré (Ω , F , (F t ), P). Alors (X t ) t ≥ 0 vérifie la propriété de Markov
forte : si T est un temps d’arrêt et si Φ est une fonction borélienne de C(R + , R d )
dans R + ,
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f (X
x
t ) = f (x) + M t +
d
∑
i=1
t
0
b i (X
x
s )
∂ f
∂ x i
(X
x
s )ds +
1
2
d
∑
i,i =1
t
0
∂ 2 f
∂ x i ∂ x i
(X
x
s )dX
x,i , X
x,i s
o` u M est une martingale locale. De plus, pour i, i ∈ {1, . . . , d},
dX
x,i , X
x,i s =
m
∑
j=1
σ i j (X
x
s )σ i j (X
x
s ) ds = (σ σ
∗ ) ii (X
x
s ) ds.
On voit ainsi que si g est la fonction d´ efinie par
g(x) =
1
2
d
∑
i,i =1
(σ σ
∗ ) ii (x)
∂ 2 f
∂ x i ∂ x i
(x) +
d
∑
i=1
b i (x)
∂ f
∂ x i
(x),
le processus
M t = f (X
x
t ) − f (x) −
t
0
g(X
x
s ) ds
est une martingale locale. Comme f et g sont born´ ees, la Proposition 4.3 (ii) montre
que M est une vraie martingale.
Consid´ erons maintenant le processus canonique (Z t ) t≥0 sur l’espace C(R + , R d )
et les mesures de probabilit´ e P x d´ efinies comme dans la remarque pr´ ec´ edant le
th´ eor` eme. Puisque P x est obtenue comme ´
etant la loi de X x , on d´ eduit de la propri´ et´ e analogue pour X x que, pour tout x ∈ R d ,
f (Z t ) −
t
0
g(Z s ) ds
est une martingale sous P x , relativement `
a la filtration canonique. Il d´ ecoule maintenant du Th´ eor` eme 6.2 que f ∈ D(L) et L f = g.
E[1 {T <∞} Φ(X T +t ,t ≥ 0) | F T ] = 1 {T <∞} E X T [Φ],
o` u, pour tout x ∈ R d , P x d´ esigne la loi sur C(R + , R d ) d’une solution arbitraire de
E x (σ , b).
D´ emonstration. Il suffit d’appliquer le Th´ eor` eme 6.5. Alternativement, on pourrait
aussi reprendre les arguments de la preuve du Th´ eor` eme 7.3, en faisant jouer au
temps d’arrˆ et T le rˆ ole jou´ e dans cette preuve par l’instant d´ eterministe s, et en
utilisant la propri´ et´ e de Markov forte du mouvement brownien.
On appelle parfois processus de diffusion un processus fortement markovien et `
a
trajectoires continues obtenu comme solution d’une ´
equation diff´ erentielle stochastique, comme dans le Th´ eor` eme 7.3. Mˆ eme dans le cadre lipschitzien consid´ er´ e
dans ce paragraphe, le Th´ eor` eme 7.4 n’identifie pas compl` etement le g´ en´ erateur L,
Corollaire 7.1. Supposons que (X t ) t ≥ 0 est une solution de E(σ, b) sur un espace
de probabilité filtré (Ω , F , (F t ), P). Alors (X t ) t ≥ 0 vérifie la propriété de Markov
forte : si T est un temps d’arrêt et si Φ est une fonction borélienne de C(R + , R d )
dans R + ,